MəZmun

• Addımlar
• Məsləhət

Bir riyaziyyatçı və ya qrafik proqramçısınızsa, ehtimal ki, verilmiş iki vektor arasındakı bucağı tapmalı olacaqsınız. Bu yazıda wikiHow sizə bunu necə edəcəyinizi göstərir.

Addımlar

2-dən 1-ci hissə: İki vektor arasındakı bucağı tapın

1. 

   Vektor tərifi. Əldə etdiyiniz iki vektor haqqında bütün məlumatları yazın. Fərz edək ki, yalnız onların ölçülü koordinatlarının göstərilən parametrlərinə (komponentlər də deyilir) sahibsiniz. Bir vektorun uzunluğunu (böyüklüyünü) artıq bilirsinizsə, aşağıdakı addımlardan bir neçəsini atlaya bilərsiniz.
   • Nümunə: İki ölçülü vektor = (2,2) və iki ölçülü vektor = (0,3). Bunları = 2 olaraq da yazmaq olarmən + 2j və = 0mən + 3j = 3j.
   • Bu məqalədəki nümunədə iki ölçülü vektorlardan istifadə olunmasına baxmayaraq, aşağıdakı təlimatlar istənilən sayda ölçülü vektorlara şamil edilə bilər.

2. 

   
   
   Kosinus düsturunu yazın. İki vektor arasındakı the bucağını tapmaq üçün bu bucağın kosinusunu tapmaq düsturundan başlayırıq. Aşağıdakı bu düstur haqqında məlumat əldə edə bilərsiniz və ya sadəcə belə yaza bilərsiniz:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| "vektorun uzunluğu" deməkdir.
   • • iki vektorun skalar məhsuludur - bu aşağıda izah ediləcəkdir.

3. 

   
   
   Hər bir vektorun uzunluğunu hesablayın. Təsəvvür edin ki, düzbucaqlı üçbucaq vektorun x, y komponentlərindən və vektorun özündən ibarətdir. Vektor üçbucağın hipotenuzunu təşkil edir, beləliklə uzunluğunu tapmaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə edirik. Əslində bu düstur istənilən ölçüdə bir vektora asanlıqla uzadıla bilər.
   • || u || = u₁ + u₂. Bir vektorda ikidən çox element varsa, sadəcə + u əlavə etməyə davam edin₃ + u₄ +...
   • Beləliklə, iki ölçülü bir vektor üçün, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Bu nümunədə |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   İki vektorun skalar məhsulunu hesablayın. Bəlkə də olaraq bilinən vektor vurma metodunu öyrənmisiniz skalar bu. Skaler məhsulu onların tərkibinə nisbətən hesablamaq üçün maddələri hər istiqamətə birləşdirin, sonra bütün nəticəni əlavə edin.
   • Qrafik proqramı üçün daha çox oxumadan əvvəl Xahiş edirəm məsləhətlərə baxın.
   • Riyaziyyatda • = u₁v₁ + u₂v₂, burada, u = (u₁, siz₂). Vektorun ikidən çox elementi varsa, sadəcə + u əlavə edin₃v₃ + u₄v₄...
   • Bu nümunədə • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Bu, vektor və vektorun skaler məhsuludur.

5. 

   Nəticələri düstura qoyun. Cosθ = (•) / (|||| || ||) olduğunu unutmayın. İndi həm skaler məhsulu, həm də hər bir vektorun uzunluğunu bilirik. Bucağın kosinusunu hesablamaq üçün bunları düstura daxil edin.
   • Bizim nümunəmizdə cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = -2 / 2.

6. 

   Kosinusuna əsaslanan bucağı tapın. Bilinən bir cos dəyərindən θ tapmaq üçün bir kalkulyatorda arccos və ya cos funksiyasından istifadə edə bilərsiniz. Bəzi nəticələrlə vahid dairəsinə əsaslanan bucağı tapa bilərsiniz.
   • Nümunədə cosθ = √2 / 2. Bucağı tapmaq üçün kalkulyatorunuza "arccos (√2 ​​/ 2)" daxil edin. Yoxsa vahid dairədə cosθ = √2 / 2 mövqeyində angle bucağını tapa bilərsiniz θ = /₄ və ya 45º.
   • Hər şeyi birləşdirərək son düstur budur: bucaq θ = arkosin ((•) / (|||| || ||))
   reklam

2-nin 2-ci hissəsi: Bucaq düsturunun təyini

1. 

   Formulun məqsədini anlayın. Bu düstur mövcud qaydalardan alınmamışdır. Bunun əvəzinə, skaler məhsulun tərifi və iki vektor arasındakı bucaq şəklində meydana gəlir. Buna baxmayaraq, bu özbaşına bir qərar deyildi. Əsas həndəsəyə qayıdıb bu düsturun niyə intuitiv və faydalı təriflər verdiyini başa düşə bilərik.
   • Aşağıdakı nümunələrdə iki ölçülü vektorlar istifadə olunur, çünki başa düşülməsi ən sadə və sadədir. Üç ölçülü və ya daha çox vektor demək olar ki, oxşar ümumi düsturlar ilə müəyyən edilmiş xüsusiyyətlərə malikdir.

2. 

   Cosine teoremini nəzərdən keçirin. Tərəfləri a və b arasında, c tərəfin əks tərəfində angle bucağı olan adi üçbucağı nəzərdən keçirin. Cosine Teoremi c = a + b -2ab olduğunu bildirircos(θ). Bu nəticə təməl həndəsədən olduqca sadə şəkildə alınır.

3. 

   Üçbucaq əmələ gətirən iki vektoru birləşdirin. Kağızlara, vektorlara və vektorlara bir cüt ölçülü vektor çəkin,, aralarındakı bucaq olsun. Üçbucaq yaratmaq üçün bu ikisi arasında üçüncü bir vektor çəkin. Başqa sözlə, + = olan bir vektor çəkin. Vektor = -.

4. 

   Bu üçbucaq üçün kosinus teoremini yazın. "Vektor üçbucağımızın" yan uzunluğunu Cosine teoreminə qoyun:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Skaler məhsulu ilə yenidən yazın. Unutmayın, skaler məhsul bir vektorun digərindəki görüntüsüdür. Bir vektorun özü ilə skaler məhsulu heç bir proyeksiya tələb etmir, çünki burada istiqamətdə heç bir fərq yoxdur. Yəni • = || a || deməkdir. Bundan istifadə edərək tənliyi yenidən yazırıq:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Eyni formulu uğurla yenidən yazdım. Düsturun sol hissəsini genişləndirin, sonra bucaqları tapmaq üçün istifadə olunan düsturu əldə etmək üçün sadələşdirin.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   reklam

Məsləhət

• Dəyərləri dəyişdirmək və problemi tez həll etmək üçün bu düsturu istənilən iki ölçülü vektor cütü üçün istifadə edin: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • siz₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Kompüter qrafika proqramı ilə işləyirsinizsə, ehtimal ki, uzunluqları barədə düşünmədən yalnız vektorların ölçüsü ilə maraqlanmalı olacaqsınız. Bir tənliyi qısaltmaq və proqramınızı sürətləndirmək üçün aşağıdakı addımları istifadə edin.
  • Hər bir vektoru 1-ə bərabər olan şəkildə normallaşdırın. Bunun üçün vektorun hər bir hissəsini uzunluğuna bölün.
  • Orijinal vektor əvəzinə skalerin normallaşdırılmış məhsulunu alın.
  • Uzunluq 1 olduğu üçün uzunluq elementlərini tənlikdən çıxara bilərik. Nəhayət, əldə edilən bucaq tənliyi arccos (•).
• Kosinus düsturuna əsasən bucağın kəskin və ya küt olduğunu tez bir zamanda müəyyən edə bilərik. Cosθ = (•) / (|||| ||||) ilə başlayın:
  • Tənliyin sol və sağ tərəfləri eyni işarəyə (müsbət və ya mənfi) sahib olmalıdır.
  • Uzunluq həmişə müsbət olduğu üçün cosθ skaler məhsul ilə eyni işarəyə sahib olmalıdır.
  • Buna görə məhsul müsbətdirsə, cosθ da müsbətdir. Unit <π / 2 və ya 90º ilə vahid dairənin birinci kvadrantındayıq. Tapmaq üçün bucaq kəskin bucaqdır.
  • Skaler məhsul mənfi olarsa, cosθ mənfi olur. Unit / 2 <θ ≤ π və ya 90º <θ ≤ 180º ilə vahid dairənin ikinci dörddəbirindəyik. Həbsxana küncü budur.