MəZmun

• Addımlar

Triqonometrik tənlik "x" dəyişəninin (və ya hər hansı digər dəyişənin) bir və ya daha çox trigonometrik funksiyasını ehtiva edir. Triqonometrik tənliyi həll etmək, funksiya (lar) ı və bütövlükdə tənliyi təmin edən "x" dəyərini tapmaqdır.

• Triqonometrik tənliklərin həlli dərəcələr və ya radianlarla ifadə olunur. Nümunələr:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 dərəcə; x = 37.12 dərəcə; x = 178.37 dərəcə.

• Qeyd: trigonometrik funksiyaların radyanla ifadə olunan açılardan və dərəcələrlə ifadə olunan açılardan dəyərləri bərabərdir. Triqonometrik funksiyaları təsvir etmək, habelə əsas trigonometrik tənliklər və bərabərsizliklərin həllinin düzgünlüyünü yoxlamaq üçün radiusu birə bərabər olan bir trigonometrik dairə istifadə olunur.
• Triqonometrik tənliklərə nümunələr:
  • günah x + günah 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Bir radiusu olan bir trigonometrik dairə (vahid dairə).
   • O nöqtədə mərkəzinə bərabər olan və radiusu bərabər olan bir dairədir. Vahid dairəsi "x" dəyişəninin 4 əsas trigonometrik funksiyasını təsvir edir, burada "x" X oxunun müsbət istiqamətindən saat yönünün əksinə ölçülmüş bucaqdır.
   • "X" vahid dairəsində bir açıdırsa, onda:
   • Üfüqi ox OAx F (x) = cos x funksiyasını təyin edir.
   • Şaquli ox OBy F (x) = sin x funksiyasını təyin edir.
   • AT şaquli ox F (x) = tan x funksiyasını təyin edir.
   • Üfüqi ox BU F (x) = ctg x funksiyasını təyin edir.

• Vahid dairəsi əsas trigonometrik tənlikləri və bərabərsizlikləri həll etmək üçün də istifadə olunur ("x" -in fərqli mövqeləri nəzərə alınır).

Addımlar

1. 1 Triqonometrik tənliklərin həlli anlayışı.
   • Triqonometrik tənliyi həll etmək üçün onu bir və ya daha çox əsas trigonometrik tənliyə çevirin. Triqonometrik tənliyin həlli nəticədə dörd əsas trigonometrik tənliyin həllinə gəlir.
2. 2 Əsas trigonometrik tənliklərin həlli.
   • 4 əsas triqonometrik tənlik var:
   • günah x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Əsas trigonometrik tənliklərin həlli, vahid dairəsindəki fərqli x mövqelərinə baxmağı və bir dönüşüm cədvəlindən (və ya kalkulyatordan) istifadə etməyi əhatə edir.
   • Misal 1.sin x = 0.866. Bir dönüşüm cədvəlindən (və ya kalkulyatordan) istifadə edərək cavabı alırsınız: x = π / 3. Vahid dairəsi başqa bir cavab verir: 2π / 3. Unutmayın: bütün trigonometrik funksiyalar dövri xarakter daşıyır, yəni dəyərləri təkrarlanır. Məsələn, sin x və cos x -in periodikliyi 2πn, tg x və ctg x -in periodikliyi πn -dir. Buna görə cavab belə yazılır:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Misal 2. cos x = -1/2. Bir dönüşüm masasından (və ya kalkulyatordan) istifadə edərək cavabı alırsınız: x = 2π / 3. Vahid dairəsi başqa bir cavab verir: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Misal 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Cavab: x = π / 4 + πn.
   • Misal 4. ctg 2x = 1.732.
   • Cavab: x = π / 12 + πn.
3. 3 Triqonometrik tənliklərin həlli üçün istifadə edilən çevrilmələr.
   • Triqonometrik tənlikləri çevirmək üçün cəbri çevrilmələr (faktorizasiya, homojen terminlərin azaldılması və s.) Və trigonometrik eyniliklərdən istifadə olunur.
   • Misal 5. Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tənliyi 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 tənliyinə çevrilir. Beləliklə, aşağıdakı əsas trigonometrik tənlikləri həll edin: cos x = 0; günah (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Funksiyaların məlum dəyərlərindən açılar tapmaq.
   • Triqonometrik tənliklərin həlli üsullarını öyrənməzdən əvvəl, funksiyaların məlum dəyərlərindən bucaq tapmağı öyrənməlisiniz. Bu bir dönüşüm cədvəli və ya kalkulyatordan istifadə etməklə edilə bilər.
   • Misal: cos x = 0.732. Kalkulyator x = 42.95 dərəcə cavabı verəcək. Vahid dairəsi kosinusu da 0.732 olan əlavə açılar verəcəkdir.
5. 5 Çözümü vahid dairəsində kənara qoyun.
   • Vahid dairəsindəki trigonometrik tənliyin həllini təxirə sala bilərsiniz. Vahid dairədəki trigonometrik tənliyin həlli adi çoxbucaqlıların təpələridir.
   • Misal: Vahid dairədəki x = π / 3 + πn / 2 həlləri bir kvadratın təpələridir.
   • Misal: Vahid dairəsindəki x = π / 4 + πn / 3 həlləri nizamlı altıbucağın uclarını göstərir.
6. 6 Triqonometrik tənliklərin həlli üsulları.
   • Verilmiş bir trig tənliyi yalnız bir trig funksiyasından ibarətdirsə, bu tənliyi əsas trigg tənliyi olaraq həll edin.Verilmiş bir tənlik iki və ya daha çox trigonometrik funksiyanı ehtiva edirsə, belə bir tənliyin həlli üçün 2 üsul vardır (çevrilmə ehtimalından asılı olaraq).
     • Metod 1.
   • Bu tənliyi aşağıdakı formada bir tənliyə çevirin: f (x) * g (x) * h (x) = 0, burada f (x), g (x), h (x) əsas trigonometrik tənliklərdir.
     
     
   • Misal 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Həll. Sin 2x = 2 * sin x * cos x cüt açılı düsturundan istifadə edərək sin 2x əvəz edin.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. İndi iki əsas trigonometrik tənliyi həll edin: cos x = 0 və (sin x + 1) = 0.
   • Misal 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Həll yolu: Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək bu tənliyi aşağıdakı formada bir tənliyə çevirin: cos 2x (2cos x + 1) = 0. İndi iki əsas trigonometrik tənliyi həll edin: cos 2x = 0 və (2cos x + 1) = 0.
   • Misal 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Həll: Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək, bu tənliyi aşağıdakı formada bir tənliyə çevirin: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. İndi iki əsas trigonometrik tənliyi həll edin: cos 2x = 0 və (2sin x + 1) = 0.
     • Metod 2.
   • Verilmiş trigonometrik tənliyi yalnız bir trigonometrik funksiyası olan bir tənliyə çevirin. Sonra bu trigonometrik funksiyanı bilinməyən bir şeylə əvəz edin, məsələn, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t və s.).
   • Misal 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Həll. Bu tənlikdə (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) (şəxsiyyətinə görə) ilə əvəz edin. Çevrilmiş tənlik belədir:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x -i t ilə əvəz edin. Tənlik indi belə görünür: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Bu iki kökü olan bir kvadratik tənlikdir: t1 = -1 və t2 = 9/5. İkinci kök t2, funksiyanın dəyərlər aralığını təmin etmir (-1 sin x 1). İndi qərar verin: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Misal 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Həll. Tg x -ni t ilə əvəz edin. Orijinal tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazın: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. İndi t = tg x üçün x tapın.
7. 7 Xüsusi trigonometrik tənliklər.
   • Xüsusi çevrilmə tələb edən bir neçə xüsusi trigonometrik tənlik var. Nümunələr:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Triqonometrik funksiyaların dövriliyi.
   • Daha əvvəl də qeyd edildiyi kimi, bütün trigonometrik funksiyalar dövri xarakter daşıyır, yəni müəyyən bir müddətdən sonra dəyərləri təkrarlanır. Nümunələr:
     • F (x) = sin x funksiyasının dövrü 2π -dir.
     • F (x) = tan x funksiyasının dövrü π -ə bərabərdir.
     • F (x) = sin 2x funksiyasının dövrü π -dir.
     • F (x) = cos (x / 2) funksiyasının dövrü 4π -dur.
   • Problem dövrdə göstərilirsə, bu müddət ərzində "x" dəyərini hesablayın.
   • Qeyd: Triqonometrik tənliklərin həlli asan iş deyil və çox vaxt səhvlərə yol açır. Buna görə cavablarınızı diqqətlə yoxlayın. Bunu etmək üçün verilmiş R (x) = 0 tənliyini qurmaq üçün qrafik kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz. Belə hallarda həllər ondalık kəsrlər şəklində təqdim ediləcək (yəni π 3.14 ilə əvəz olunur).