MəZmun

• Addımlamaq
• 3-ün 1-ci hissəsi: Analizin əsasları
• 3-cü hissə 2: Türevləri anlayın
• 3-ün 3-cü hissəsi: İnteqralları anlayın
• Göstərişlər

Analiz (hesablama da adlanır) riyaziyyatın hüdudlara, funksiyalara, törəmələrə, inteqrallara və sonsuz seriyalara yönəlmiş bir qoludur. Bu mövzu çox riyaziyyatı əhatə edir və fizika və mexanikada istifadə olunan bir çox düstur və tənliklərin əsasını təşkil edir. Təhlili düzgün başa düşmək üçün orta məktəbdə bir neçə il riyaziyyat keçməyiniz lazım olacaq, amma bu məqalə nəzəri cəhətdən daha yaxşı başa düşməklə yanaşı əsas anlayışları tanımağı öyrənməyə başlayacaq.

Addımlamaq

3-ün 1-ci hissəsi: Analizin əsasları

1. Analiz, şeylərin necə dəyişdiyini öyrənən bir araşdırmadır. Analiz, ümumiyyətlə real dünya məlumatlarından götürülmüş rəqəmləri və qrafikləri araşdıran və necə dəyişdiklərini izah edən riyaziyyatın bir hissəsidir. İlk əvvəllər bu çox faydalı görünməsə də, analiz riyaziyyatın ən çox istifadə olunan sahələrindən biridir. Təsəvvür edin ki, işinizin hər an nə qədər böyüdüyünü və ya bir uzay gəmisinin gedişatını necə göstərəcəyini və yanacağının nə qədər tez tükəndiyini söyləyən vasitələrə sahib olun. Analiz mühəndislik, iqtisadiyyat, statistika, kimya və fizikada əhəmiyyətli bir vasitədir və bir çox ixtira və kəşflərə kömək etmişdir.
2. Funksiyalar iki rəqəm arasındakı əlaqələrdir və əlaqələrin xəritəsi üçün istifadə olunur. Bunlar rəqəmlər arasındakı əlaqə qaydalarıdır və riyaziyyatçılar bunlardan qrafik hazırlamaq üçün istifadə edirlər. Bir funksiyada hər girişin bir nəticəsi var. Məsələn: in ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Sonsuzluq anlayışı barədə düşünün. Sonsuzluq bir prosesin davamlı təkrarlanmasıdır. Bura müəyyən bir yer deyil (sonsuzluğa gedə bilməzsiniz), əksinə bir ədədin və ya tənliyin davranışıdır, əgər sonsuza qədər edilsə. Dəyişikliyi öyrənmək üçün bu vacibdir: avtomobilinizin istənilən vaxt nə qədər sürətlə hərəkət etdiyini bilmək istəyə bilərsiniz, amma cari saniyə ərzində avtomobiliniz nə qədər sürətlə hərəkət edir? Milisaniyə? Nanosaniyə? Zamanın sonsuz kiçik hissələrini daha da dəqiqləşdirmək üçün tapa bilərsiniz və bu zaman analiz gəlir.
3. Limit anlayışını başa düş. Həddi bir şey sonsuzluğa yaxınlaşdıqda nə baş verdiyini izah edir. 1 rəqəmini götürün və 2-yə bölün. Təkrar-təkrar 2-yə bölməyə davam edin. 1, 1/2, sonra isə 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 və s. Olur, hər dəfə sayı azaldıqda sıfıra "yaxınlaşır". Bəs harada dayanır? Sıfı almaq üçün 1-i 2-yə neçə dəfə bölmək lazımdır? Bu suala cavab vermək əvəzinə analizdə birini təyin etdiniz limit Bu vəziyyətdə limit.
   • Limitləri qrafikdə təsəvvür etmək ən asandır - məsələn, qrafın az qala toxunduğu nöqtələr varmı, amma əsla olmur?
   • Limitlər say, sonsuz və ya ümumiyyətlə ola bilər. Məsələn, 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... əlavə ardıcıllığı ilə və bu sonsuza qədər davam edir, son rəqəm sonsuz böyük olur. Sonra limit sonsuz olur.
4. Cəbr, trigonometriya və riyaziyyatın əsas riyaziyyat anlayışlarını nəzərdən keçirin. Təhlil əvvəllər öyrəndiyiniz riyaziyyatın çox hissəsinə əsaslanır. Bütün mövzular haqqında yaxşı məlumatlı olmaq təhlili öyrənməyi və başa düşməyi çox asanlaşdırır. Fırçalanacaq bəzi mövzular:
   • Cəbr. Fərqli prosesləri anlamalı və çox dəyişənli tənliklər və tənliklər sistemini həll etməyi bacarmalısınız. Koleksiyonların əsaslarını anlayın. Qrafiklər hazırlayın.
   • Həndəsə. Həndəsə şəkillərin öyrənilməsidir. Üçbucaqlar, düzbucaqlılar və dairələr, ətraf və sahə kimi şeyləri necə hesablamaq barədə əsas biliklərə sahib olmalısınız. Açıları, xətləri və koordinatları anlayın
   • Trigonometriya. Trigonometriya riyaziyyatın dairələr və düzbucaqlı üçbucaqların xüsusiyyətləri ilə məşğul olan bir hissəsidir. Trigonometrik şəxsiyyətlərdən, qrafiklərdən, funksiyalardan və tərs trigonometrik funksiyalardan necə istifadə edəcəyinizi bilmək.
5. Bir qrafik kalkulyatoru alın. Nə etdiyinizi görmədən təhlil etmək asan deyil. Qrafiki hesablayıcılar funksiyaları əyani hala gətirir ki, hansı tənliklərlə üzləşdiyinizi daha yaxşı başa düşəsiniz. Tez-tez məhdudiyyətlər ekranda da göstərilir və törəmələr və funksiyalar avtomatik olaraq hesablanır.
   • Bu gün bir çox smartfon və tablet bir qrafika kalkulyatoru istəmirsinizsə və ya ala bilmirsinizsə, ucuz, lakin effektiv qrafik tətbiqetmələri təklif edir.

3-cü hissə 2: Türevləri anlayın

1. Analiz "müəyyən bir anda dəyişiklik" i öyrənmək üçün istifadə olunur. Bir şeyin dəqiq bir anda niyə dəyişdiyini bilmək analizin özəyidir. Məsələn, analiz yalnız bir avtomobilin sürətini deyil, həm də bu sürətin istənilən anda nə qədər dəyişdiyini də verir. Bu analizin ən sadə istifadələrindən biridir, lakin çox vacibdir. Bu cür məlumatların Aya uzay gəmisi gətirmə sürətini müəyyənləşdirmək üçün nə qədər vacib olduğunu düşünün!
   • Zamanın müəyyən bir nöqtəsində dəyişikliyin təyin edilməsi var fərqləndirmək. Fərqləndirmə təhlilin iki böyük qolundan birincisidir.
2. Şeylərin müəyyən bir zamanda necə dəyişdiyini anlamaq üçün törəmələrdən istifadə edin. "Törəmə" tez-tez şagirdləri əsəbləşdirən bir şey üçün gözəl bir sözdür. Bununla birlikdə, konsepsiyanın özü başa düşmək o qədər də çətin deyil - sadəcə "bir şeyin nə qədər tez dəyişməsi" deməkdir. Gündəlik həyatda ən çox qarşılaşacağınız törəmələr sürətlə əlaqəlidir. Lakin, ümumiyyətlə buna "sürət törəməsi" deyil, sadəcə "sürətləndirmə" deyirsən.
   • Sürətləndirmə bir törəmədir - bir şeyin nə qədər sürətləndiyini və ya yavaşladığını və ya sürətinin necə dəyişdiyini izah edir.
3. Dəyişmə sürətinin iki nöqtə arasındakı yamaca bərabər olduğunu bil. Bu analizin ən vacib kəşflərindən biridir. İki nöqtə arasındakı dəyişiklik dərəcəsi, bu iki nöqtə arasındakı xəttin yamacına bərabərdir. Sadəcə tənlik kimi sadə bir xətt düşünün ${ displaystyle y = 3x.}$Döngə xətlərinin meylini təyin edə biləcəyinizi bilin. Düz bir xəttin meylini təyin etmək nisbətən asandır: nə qədər dəyişir ${ displaystyle y}$Dəyişikliyi daha dəqiq hesablamaq istəyirsinizsə, nöqtələrin bir-birinə daha yaxın olduğundan əmin olun. İki nöqtəni nə qədər yaxın seçsəniz, cavabınız bir o qədər dəqiq olar. Tutaq ki, sürətləndiriciyə basdıqda avtomobilinizin nə qədər sürətləndiyini bilmək istəyirsiniz. Evinizlə supermarket arasındakı sürət dəyişikliyini ölçmək istəmirsiniz, ancaq sürət qazını vurduğunuz andan etibarən sürətdəki dəyişiklik. Oxumağınız bu saniyəyə yaxınlaşdıqca dəyişikliyi daha dəqiq hesablayırsınız.
   • Məsələn, elm adamları bəzi növləri qurtarmaq üçün nə qədər sürətlə yox olmağı araşdırırlar. Bununla birlikdə, yazda olduğundan daha çox heyvan qışda ölür, buna görə də il ərzində dəyişiklik nisbətini öyrənmək faydalı deyil - dəyişiklik dərəcəsini 1 iyul-1 avqust kimi daha kiçik bir müddətdə təyin etmək daha yaxşıdır.
4. "Ani dəyişiklik dərəcəsini" təyin etmək üçün sonsuz qısa xətlərdən istifadə edin və ya törəməni tapın. Analiz tez-tez bir az qarışıq olur, amma bu, iki sadə faktın nəticəsidir. Hər şeydən əvvəl, bir xəttin yamacının bu xəttin nə qədər sürətli dəyişdiyinə bərabər olduğunu bilirsiniz. İkincisi, bilirsiniz ki, xətt nöqtələri bir-birinə nə qədər yaxınlaşsa, oxu o qədər dəqiq olacaqdır. Ancaq yamac iki nöqtə arasındakı əlaqədirsə, müəyyən bir nöqtədə dəyişiklik dərəcəsini necə tapmaq olar? Cavab: Bir-birinə sonsuz dərəcədə yaxın olan iki nöqtəni seçirsiniz.
   • 1-i 2-yə bölməyə davam etdiyiniz nümunəni nəzərdən keçirin, beləliklə 1/2, 1/4, 1/8 və s. Beləliklə, sonunda sıfıra yaxınlaşırsınız və cavab "demək olar ki, sıfır" olur. Xallar bir-birinə o qədər yaxındır ki, "demək olar ki, bir-birlərinə bərabərdirlər". Bu, türevlərin təbiətidir.
5. Müxtəlif törəmələri necə təyin edəcəyinizi öyrənin. Tənlikdən asılı olaraq bir törəməni tapmaq üçün bir ton müxtəlif texnika var, ancaq yuxarıdakı türevlərin əsaslarını əzbərləmisinizsə, bunların əksəriyyəti mənalıdır. Bütün törəmələr "sonsuz kiçik" bir xəttin yamacını tapmağın bir yoludur. Törəmə nəzəriyyəsi haqqında daha çox bildiyiniz üçün işin çox hissəsi cavab tapmaqdadır.
6. İstənilən vaxt dəyişmə sürətini proqnozlaşdırmaq üçün çıxarılan tənlikləri tapın. İstənilən vaxt dəyişmə sürətini təyin etmək üçün törəmələrdən istifadə etmək faydalıdır, lakin analizin gözəlliyi ondan ibarətdir ki, istənilən funksiya üçün yeni bir model yarada bilərsiniz. Törəməsi ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Bunu başa düşməkdə çətinlik çəkirsinizsə, türevlərin həyatdakı nümunələrini xatırlamağa çalışın. Ən sadə nümunə, hər gün qarşılaşdığımız bir çox fərqli törəməni əhatə edən sürətə əsaslanır. Unutma: törəmə bir şeyin nə qədər tez dəyişməsinin ölçüsüdür. Sadə bir sınaq düşünün. Bir masanın üstünə bir mərmər yuvarlayır və hər dəfə nə qədər irəlilədiyini və nə qədər sürətli olduğunu ölçürsən. İndi yuvarlanan mərmərin qrafikdəki bir xətti izlədiyini təsəvvür edin - bu sətirdə istənilən an ani dəyişiklikləri ölçmək üçün törəmələrdən istifadə edirsiniz.
   • Mərmər nə qədər sürətlə hərəkət edir? Hərəkət edən mərmərin mövqeyi (və ya törəməsi) hansı sürətlə dəyişir? Biz bu törəməyə "sürət" deyirik.
   • Mərməri yamac boyunca yuvarlayın və sürətin necə dəyişdiyini müşahidə edin. Mərmər sürətinin dəyişmə sürəti və ya törəməsi nə qədərdir? Bu türev, "sürətləndirmə" dediyimiz şeydir.
   • Mərməri bir roller sahil gəmisi kimi dalğalı bir yol boyunca yuvarlayın. Mərmər yuvarlandıqda nə dərəcədə sürət qazanır və mərmər yoxuşa nə dərəcədə yavaşlayır? Mərmər ilk təpənin yarısında olduğunda tam olaraq nə qədər sürətlə gedir? Bu, müəyyən bir nöqtədəki mərmərin ani dəyişmə sürəti və ya törəməsidir.

3-ün 3-cü hissəsi: İnteqralları anlayın

1. Mürəkkəb sahələri və həcmləri tapmaq üçün təhlildən istifadə edə biləcəyinizi bilin. Analizlə ölçmək çətin olan mürəkkəb formaları ölçə bilərsiniz. Məsələn, uzun, düzensiz formalı bir gölün nə qədər su içərisində olduğunu bilmək istədiyiniz problemi nəzərdən keçirin - hər litr suyu ayrı-ayrı ölçmək və ya gölün formasını ölçmək üçün bir hökmdar istifadə etmək mümkün deyil. Analizlə gölün kənarlarının necə dəyişdiyini öyrənə və sonra bu məlumatdan istifadə edərək nə qədər su içdiyini öyrənə bilərsiniz.
   • Həndəsi modellərin hazırlanması və həcmlərin öyrənilməsi inteqrasiya etmək. İnteqrasiya edilmiş hesablama analizin ikinci vacib sahəsidir.
2. Bilin ki, inteqrasiya bir qrafikin altındakı sahədir. İnteqrasiya, qəribə və ya qeyri-müntəzəm formaların sahəsini təyin etməyə imkan verən bir xəttin altındakı boşluğu ölçmək üçün istifadə olunur. Tənliyi götürün ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$İnteqrasiya etmək üçün bir sahə seçməli olduğunuzu bilin. Bütün bir funksiyanı sadəcə birləşdirə bilməzsiniz. Məsələn, ${ displaystyle y = x}$Bir düzbucaqlının sahəsini necə hesablayacağınızı düşünün. Kimi bir qrafikin üstündə düz bir xəttin olduğunu düşünək ${ displaystyle y = 4.}$Bilin ki, integral hesabda bir sahənin sahəsini tapmaq üçün bir çox kiçik düzbucaqlı əlavə olunur. Bir döngəni həddən artıq böyüdükdə, düz bir xətt kimi görünür. Bunu hər gün görürsən - yerin səthinə çox yaxın olduğun üçün yerin əyriliyini qavraya bilməzsən. İnteqrasiya, bir əyri altında sonsuz sayda kiçik düzbucaqlılar yaradır ki, bunlar sayılmağa imkan verən, əsasən düzdür. Birləşdirilən bütün bu düzbucaqlılar bir döngənin altındakı sahəni meydana gətirir.
   • Fərz edək ki, qrafikin altına çoxlu kiçik seqmentlər əlavə etdiniz və hər seqmentin eni budur təxminən sıfırdır.
3. İntegralları düzgün oxumağı və yazmağı bilmək. İntegrallar 4 hissədən ibarətdir. Tipik bir ayrılmaz belə görünür:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ İnteqral tapmaq haqqında daha çox məlumat əldə edin. İnteqrasiya bir çox formada olur və hər bir funksiyanı birləşdirmək üçün bir çox fərqli düstur öyrənməlisiniz. Lakin hamısı yuxarıda göstərilən prinsiplərə əməl edirlər: inteqrasiya sonsuz sayda şeyin cəmidir.
   • Əvəzetmə ilə birləşdirin.
   • Qeyri-müəyyən inteqralları hesablayın.
   • Paylaşaraq inteqrasiya edin.
4. Bilin ki, inteqrasiya fərqlənmənin tərsidir və əksinə. Bu, öz adının verildiyi qədər vacib bir analiz qaydasıdır: İnteqral Hesablamanın Əsas Teoremi.İnteqrasiya və diferensiallaşma bir-biri ilə çox sıx əlaqəli olduğundan, hansı məlumatlara sahib olmağınızdan asılı olmayaraq, ikisinin birləşməsi ilə dəyişmə sürətini, sürətlənməni, sürəti, yeri, hərəkəti və s.
   • Məsələn, sürətin törəməsinin sürət olduğunu unutmayın, belə ki, sürəti tapmaq üçün sürətdən istifadə edə bilərsiniz. Ancaq yalnız bir şeyin sürətlənməsini bilirsinizsə (cazibə qüvvəsi səbəbindən düşən cisimlər kimi), sürəti bərpa etmək üçün inteqrasiya edə bilərsiniz!
5. Bilin ki, inteqrasiya ilə 3D obyektlərin həcmini də idarə edə bilərsiniz. Düz bir forma döndürmək 3D qatı maddələrin yaradılmasının bir yoludur. Təsəvvür edin ki, masada fırlanan bir sikkə - sikkə fırlandıqca necə kürə formasını aldığına diqqət yetirin. Bu konsepsiya səs səviyyəsini "fırlanma ilə həcm" olaraq bilinən bir müddətə görə təyin etməyə imkan verir.
   • Bu, onu təmsil edən bir funksiyanız olduğu müddətcə hər hansı bir qatı maddənin həcmini təyin etməyə imkan verir. Məsələn, bir gölün dibini izləyən bir funksiya yarada bilərsiniz və bundan sonra gölün həcmini və ya nə qədər su içdiyini təyin etmək üçün istifadə edə bilərsiniz.

Göstərişlər

• Təcrübə mükəmməldir, buna görə dərsliyinizdəki məşqləri - hətta müəlliminizin vermədiyi şeyləri də edin - və anlayışları daha yaxşı başa düşməyiniz üçün cavablarınızı yoxlayın.
• Çözüm tapa bilmirsinizsə, müəlliminizdən soruşun.