Matrisləri necə bölmək olar

MəZmun

Qısa xülasə
Addımlar
3 -dən 1 -ci hissə: Matrislərin bölünmə qabiliyyətini yoxlamaq
3 -dən 2 -ci hissə: Ters Matrisin Tapılması
3 -dən 3 -cü hissə: Matris vurma
İpuçları
Xəbərdarlıqlar
Əlavə məqalələr

İki matrisin necə vurulacağını bilirsinizsə, matrisləri "bölməyə" başlaya bilərsiniz. "Bölmə" sözü dırnaq işarələrinə əlavə olunur, çünki matrislər əslində bölünə bilməz. Bölmə əməliyyatı, bir matrisi ikinci matrisin tərsi olan bir matrisə vurma əməliyyatı ilə əvəz olunur. Sadəlik üçün tam ədədləri olan bir nümunəni nəzərdən keçirin: 10 ÷ 5. 5: 5 və ya /₅və sonra bölməni çarpma ilə əvəz edin: 10 x 5; bölmə və vurmanın nəticəsi eyni olacaq. Buna görə də bölünmənin tərs matrislə vurulması ilə əvəz oluna biləcəyinə inanılır. Tipik olaraq, bu cür hesablamalar xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün istifadə olunur.

Qısa xülasə

Matrisləri bölmək olmaz. Bölmək əvəzinə, bir matris ikinci matrisin tərsinə vurulur. [A] ÷ [B] iki matrisin "bölünməsi" belə yazılır: [A] * [B] və ya [B] * [A].
[B] matrisi kvadrat deyilsə və ya onun determinantı 0 olarsa, "birmənalı həll yoxdur" yazın. Əks təqdirdə [B] matrisinin determinantını tapın və növbəti addıma keçin.
Tərsini tapın: [B].
[A] * [B] və ya [B] * [A] tapmaq üçün matrisləri vurun. Matrislərin vurulma sırasının son nəticəyə təsir etdiyini unutmayın (yəni nəticələr dəyişə bilər).

Addımlar

3 -dən 1 -ci hissə: Matrislərin bölünmə qabiliyyətini yoxlamaq

1 Matrislərin "bölünməsini" anlayın. Əslində matrisləri bölmək olmaz. "Bir matrisi digərinə bölmək" kimi bir riyazi əməliyyat yoxdur. Bölmə bir matrisin ikinci matrisin tərsinə vurulması ilə əvəz olunur. Yəni [A] ÷ [B] işarəsi düzgün deyildir, ona görə də aşağıdakı qeydlə əvəz olunur: [A] * [B]. Skalyar dəyərlər halında hər iki giriş ekvivalent olduğu üçün nəzəri olaraq matrislərin "bölünməsi" haqqında danışa bilərik, amma yenə də düzgün terminologiyadan istifadə etmək daha yaxşıdır.
- Qeyd edək ki, [A] * [B] və [B] * [A] fərqli əməliyyatlardır. Bütün mümkün həlləri tapmaq üçün hər iki əməliyyatı yerinə yetirmək lazım ola bilər.
- Məsələn, əvəzinə ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 və 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ yazmaq ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 və 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Hesablamalı ola bilərsiniz ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ fərqli bir nəticə əldə etmək.
2 Digər matrisi "böldüyünüz" matrisin kvadrat olduğuna əmin olun. Bir matrisi tərs çevirmək üçün (matrisin tərsini tapın) kvadrat olmalıdır, yəni eyni sayda satır və sütun olmalıdır. Ters çevrilmiş matris tərs deyilsə, qəti bir həll yoxdur.
- Yenə də matrislər burada "bölünməz" deyil. [A] * [B] əməliyyatında təsvir olunan şərt [B] matrisinə aiddir. Bizim nümunəmizdə bu şərt matrisə aiddir ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Ters çevrilə bilən bir matrisə qeyri-degenerativ və ya nizamlı deyilir. Ters çevrilə bilməyən bir matrisə dejenerativ və ya tək deyilir.
3 İki matrisin vurula biləcəyini yoxlayın. İki matrisi çoxaltmaq üçün birinci matrisdəki sütunların sayı ikinci matrisdəki satırların sayına bərabər olmalıdır. [A] * [B] və ya [B] * [A] girişində bu şərt yerinə yetirilmirsə, heç bir həll yoxdur.
- Məsələn, [A] matrisinin ölçüsü 4 x 3 və [B] matrisinin ölçüsü 2 x 2 olarsa, həlli yoxdur. [A] * [B] -ni 4 ≠ 2 olduğu üçün çoxalda bilməzsən, [B] * [A] isə 2 ≠ 3 olduğu üçün çoxalda bilməzsən.
- Nəzərə alın ki, tərs matris [B] həmişə orijinal matris [B] ilə eyni sayda satır və sütuna malikdir. İki matrisin vurula biləcəyini yoxlamaq üçün tərs matris tapmaq lazım deyil.
- Bizim nümunəmizdə hər iki matrisin ölçüsü 2 x 2 -dir, buna görə də istənilən qaydada vurula bilərlər.
4 2 × 2 matrisinin determinantını tapın. Unutmayın: matrisi yalnız onun determinantı sıfır olmadıqda çevirə bilərsiniz (əks halda, matrisi tərsinə çevirə bilməzsiniz). 2 x 2 matrisin determinantını necə tapmaq olar:
- 2 x 2 Matris: matrisin determinantıdır ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ e -ə bərabərdir. Yəni, əsas diaqonal elementlərin məhsulundan (yuxarı sol və aşağı sağ künclərdən keçir) digər diaqonal elementlərin məhsullarını çıxarın (yuxarı sağ və aşağı sol künclərdən keçir).
- Məsələn, matrisin determinantı ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ bərabərdir.
5 Daha böyük matrisin determinantını tapın. Matrisin ölçüsü 3 x 3 və ya daha çox olarsa, determinantın hesablanması bir qədər çətindir.
- 3 x 3 matris: hər hansı bir maddə seçin və içərisində olan sətir və sütunu kəsin.Yaranan 2 × 2 matrisin determinantını tapın və sonra seçilmiş elementlə vurun; xüsusi bir cədvəldə determinantın işarəsini göstərin. Seçdiyiniz maddə ilə eyni sətirdə və ya sütunda olan digər iki maddə üçün bu prosesi təkrarlayın. Sonra alınan (üç) determinantın cəmini tapın. 3 x 3 matrisin determinantını necə tapacağınıza dair daha çox məlumat üçün bu yazını oxuyun.
- Böyük matrislər: bu cür matrislərin determinantı ən yaxşı şəkildə bir grafik kalkulyatoru və ya proqram təminatı ilə axtarılır. Metod, 3 × 3 matrisin determinantını tapmaq üsuluna bənzəyir, ancaq onu əl ilə tətbiq etmək olduqca darıxdırıcıdır. Məsələn, 4 x 4 matrisin determinantını tapmaq üçün dörd ədəd 3 x 3 matrisin determinantlarını tapmaq lazımdır.
6 Hesablamalara davam edin. Matris kvadrat deyilsə və ya onun determinantı sıfıra bərabərdirsə, "birmənalı həll yoxdur" yazın, yəni hesablama prosesi başa çatdı. Matris kvadratdırsa və sıfır olmayan bir determinant varsa, növbəti hissəyə keçin.

3 -dən 2 -ci hissə: Ters Matrisin Tapılması

1 2 x 2 matrisanın əsas diaqonal elementlərini dəyişdirin. 2 × 2 matris verildikdə, sürətli tərs metodundan istifadə edin. Əvvəlcə yuxarı sol elementi və sağ alt elementi dəyişdirin. Misal üçün:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Qeyd: insanların çoxu 3 x 3 (və ya daha böyük) matrisi ters çevirmək üçün kalkulyatorlardan istifadə edir. Bunu əl ilə etmək lazımdırsa, bu hissənin sonuna gedin.
2 Qalan iki elementi dəyişdirməyin, işarəsini dəyişdirin. Yəni yuxarı sağ elementi və sol alt elementi -1 ilə vurun:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Determinantın qarşılığını tapın. Bu matrisin determinantı əvvəlki hissədə tapıldı, buna görə bir daha hesablamayacağıq. Determinantın tərsi belə yazılır: 1 / (determinant):
- Bizim nümunəmizdə determinant 13. Tərs dəyər: ${ Displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Yaranan matrisi determinantın qarşılığı ilə vurun. Yeni matrisin hər bir elementini determinantın tərsinə vurun. Son matris, orijinal 2 x 2 matrisin tərsi olacaq:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} və { frac {7 } {13}} son {pmatrix}}}$
5 Hesablamaların düzgünlüyünü yoxlayın. Bunu etmək üçün orijinal matrisi tərsinə vurun. Hesablamalar düzgündürsə, orijinal matrisin məhsulu tərsinə kimlik matrisi veriləcəkdir: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Test uğurlu olarsa, növbəti hissəyə keçin.
- Bizim nümunədə: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} və { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 və 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Matrisləri necə vurmaq barədə daha çox məlumat üçün bu yazını oxuyun.
- Qeyd: matris vurma əməliyyatı komutativ deyil, yəni matrislərin sırası vacibdir. Ancaq orijinal matris tərsinə vurulduqda, hər hansı bir əmr şəxsiyyət matrisinə səbəb olur.
6 3 x 3 matrisinin tərsini tapın (və ya daha böyük). Bu proseslə artıq tanışsınızsa, bir qrafik kalkulyatoru və ya xüsusi bir proqramdan istifadə etmək daha yaxşıdır. Tərs matrisi əl ilə tapmaq lazımdırsa, proses qısa şəkildə aşağıda təsvir edilmişdir:
- Orijinal matrisin sağ tərəfindəki I şəxsiyyət matrisinə qoşulun. Məsələn, [B] → [B | Mən]. Şəxsiyyət matrisi üçün əsas diaqonalın bütün elementləri 1 -ə, digər bütün elementlər isə 0 -a bərabərdir.
- Matrisi sol tərəfi pilləli olması üçün sadələşdirin; sol tərəfin şəxsiyyət matrisi olması üçün sadələşdirməyə davam edin.
- Sadələşdirmədən sonra matris aşağıdakı forma alacaq: [I | B]. Yəni sağ tərəfi orijinal matrisin tərsidir.

3 -dən 3 -cü hissə: Matris vurma

1 İki mümkün ifadəni yazın. İki skalyarın vurulması əməliyyatı kommutativdir, yəni 2 x 6 = 6 x 2.Matris vurma vəziyyətində belə deyil, buna görə iki ifadəni həll etməli ola bilərsiniz:
- x = [A] * [B] tənliyin həllidir x[B] = [A].
- x = [B] * [A] [B] tənliyinin həllidirx = [A].
- Hər bir riyazi əməliyyatı tənliyin hər iki tərəfində yerinə yetirin. Əgər [A] = [C] olarsa [B] [A] C [C] [B] çünki [B] [A] nın solunda, lakin [C] nin sağında.
2 Son matrisin ölçüsünü təyin edin. Son matrisin ölçüsü vurulan matrislərin ölçüsündən asılıdır. Yekun matrisdəki satırların sayı birinci matrisdəki satırların sayına, son matrisdəki sütunların sayı isə ikinci matrisdəki sütunların sayına bərabərdir.
- Bizim nümunəmizdə hər iki matrisin ölçüsü ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ və ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} və { frac {7 } {13}} son {pmatrix}}}$ 2 x 2 olduğu üçün orijinal matrisin ölçüsü 2 x 2 olacaq.
- Daha mürəkkəb bir nümunəyə nəzər salın: əgər [A] matrisinin ölçüsüdürsə 4 x 3 və [B] matrisinin ölçüsü 3 x -dir 3, sonra yekun matris [A] * [B] 4 x 3 olacaq.
3 Birinci elementin dəyərini tapın. Bu məqaləni oxuyun və ya aşağıdakı əsas addımları xatırlayın:
- [A] [B] matrisinin ilk elementini (birinci sıra, birinci sütun) tapmaq üçün [A] matrisinin birinci sətirinin elementlərinin və [B matrisinin birinci sütununun elementlərinin nöqtə məhsulunu hesablayın. ]. 2 x 2 matrisində nöqtəli məhsul aşağıdakı kimi hesablanır: ${ Displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Bizim nümunədə: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} və { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} və { frac {7} {13}} son {pmatrix}}}$ ... Beləliklə, son matrisin ilk elementi element olacaq:
  ${ Displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ Displaystyle = -1}$
4 Son matrisin hər bir elementini tapmaq üçün nöqtə məhsullarını hesablamağa davam edin. Məsələn, ikinci cərgədə və birinci sütunda yerləşən element [A] matrisinin ikinci cərgəsinin və [B] matrisinin birinci sütununun nöqtə məhsuluna bərabərdir. Qalan əşyaları özünüz tapmağa çalışın. Aşağıdakı nəticələri almalısınız:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} və { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} və { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { başla {pmatrix} -1 və 10 7 və -5 son {pmatrix}}}$
- Başqa bir həll tapmaq lazımdırsa: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} və { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 son {pmatrix}}}$

İpuçları

Matris skalyara bölünə bilər; Bunun üçün matrisin hər bir elementi skalyara bölünür.
- Məsələn, əgər matris ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ 2 -yə bölündükdə matrisə qovuşursunuz ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Xəbərdarlıqlar

Matris hesablamalarına gəldikdə, kalkulyator həmişə tamamilə dəqiq nəticələr vermir. Məsələn, kalkulyator, maddənin çox kiçik bir rəqəm olduğunu iddia edərsə (məsələn, 2E), dəyər çox güman ki, sıfırdır.