MəZmun

• İlkin məlumatlar
• Addımlar
• 3 -dən 1 -ci hissə: Əsaslar
• 3 -cü hissə 2: Laplas çevrilməsinin xüsusiyyətləri
• 3 -dən 3 -cü hissə: Serial Genişləndirmə ilə Laplas Dönüşümünü Tapın

Laplas çevrilməsi sabit əmsalları olan diferensial tənlikləri həll etmək üçün istifadə olunan ayrılmaz bir çevrilmədir. Bu çevrilmə fizika və mühəndislikdə geniş istifadə olunur.

Müvafiq cədvəllərdən istifadə edə bilsəniz də, lazım olduqda özünüz edə biləcəyiniz üçün Laplace çevrilməsini anlamaq faydalıdır.

İlkin məlumatlar

• Bir funksiya verilir ${ Displaystyle f (t)}$üçün təyin olunur ${ Displaystyle t geq 0.}$ Sonra Laplas çevrilməsi funksiyası ${ Displaystyle f (t)}$ hər bir dəyərin növbəti funksiyasıdır ${ Displaystyle s}$, inteqralın yaxınlaşdığı:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplas çevrilməsi t-bölgəsindən (zaman miqyası) s-bölgəsinə (çevrilmə bölgəsi) qədər bir funksiya götürür. ${ Displaystyle F (s)}$ kompleks dəyişənin kompleks funksiyasıdır. Bu, funksiyanı həllin daha asan tapılacağı bir sahəyə daşımağa imkan verir.
• Aydındır ki, Laplas çevrilməsi xətti bir operatordur, buna görə də şərtlərin cəmi ilə məşğul olsaq, hər bir inteqral ayrıca hesablana bilər.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Unutmayın ki, Laplas çevrilməsi yalnız inteqral yaxınlaşdıqda işləyir. Əgər funksiya ${ Displaystyle f (t)}$ fasilələr var, qeyri -müəyyənliyin qarşısını almaq üçün diqqətli olmalı və inteqrasiya sərhədlərini düzgün təyin etməlisiniz.

Addımlar

3 -dən 1 -ci hissə: Əsaslar

1. 1 Funksiyanı Laplace çevrilmə düsturu ilə əvəz edin. Teorik olaraq, bir funksiyanın Laplace çevrilməsini hesablamaq çox asandır. Məsələn, funksiyanı nəzərdən keçirək ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, harada ${ Displaystyle a}$ ilə kompleks bir sabitdir ${ displaystyle operator adı {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Mövcud metodlardan istifadə edərək inteqralı qiymətləndirin. Misalımızda, təxmin çox sadədir və sadə hesablamalarla əldə edə bilərsiniz. Daha mürəkkəb hallarda, daha mürəkkəb metodlara ehtiyac ola bilər, məsələn, hissələrlə inteqrasiya və ya inteqral işarəsi altında fərqləndirmə. Məhdudiyyət şərti ${ displaystyle operator adı {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ o deməkdir ki, inteqral yaxınlaşır, yəni dəyəri 0 -a bərabərdir ${ Displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {aligned}}}$
   • Qeyd edək ki, bu, Euler düsturuna görə, sinus və kosinus ilə iki növ Laplace çevrilməsini verir ${ Displaystyle e ^ {iat}}$... Bu vəziyyətdə məxrəcdə əldə edirik ${ Displaystyle s-ia,}$ və yalnız real və xəyali hissələri müəyyən etmək qalır. Nəticəni birbaşa qiymətləndirə bilərsiniz, amma bu bir az daha uzun çəkəcək.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operator adı {Re} sol ({ frac {1} {s-ia}} sağ) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} sağ) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Güc funksiyasının Laplas çevrilməsini nəzərdən keçirək. Əvvəlcə güc funksiyasının çevrilməsini təyin etməlisiniz, çünki xətti xüsusiyyət çevrilməni tapmağa imkan verir. hamısından polinomlar. Formanın funksiyası ${ Displaystyle t ^ {n},}$ harada ${ Displaystyle n}$ - hər hansı bir müsbət tam ədəd. Rekursiv qayda müəyyən etmək üçün parça -parça birləşdirilə bilər.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Bu nəticə dolayısı ilə ifadə olunur, ancaq bir neçə dəyəri əvəz etsəniz ${ Displaystyle n,}$ Aşağıdakı nəticəni əldə etməyə imkan verən müəyyən bir model qura bilərsiniz (özünüz etməyə çalışın):
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Gamma funksiyasından istifadə edərək fraksiya güclərinin Laplace çevrilməsini də təyin edə bilərsiniz. Məsələn, bu şəkildə kimi bir funksiyanın çevrilməsini tapa bilərsiniz ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Kesirli gücə malik funksiyaların kəsikləri olmalı olsa da (hər hansı kompleks ədədləri unutmayın ${ Displaystyle z}$ və ${ Displaystyle alpha}$ kimi yazmaq olar ${ Displaystyle z ^ { alpha}}$, Çünki ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), hər zaman kəsiklərin sol yarım müstəvidə yerləşəcəyi və beləliklə analitik problemlərdən qaçınacaq şəkildə təyin edilə bilər.

3 -cü hissə 2: Laplas çevrilməsinin xüsusiyyətləri

1. 1 Funksiyanın çarpılan Laplas çevrilməsini tapaq eat{ Displaystyle e ^ {at}}. Əvvəlki hissədə əldə edilən nəticələr, Laplas çevrilməsinin bəzi maraqlı xüsusiyyətlərini öyrənməyə imkan verdi. Kosinus, sinus və eksponensial funksiya kimi funksiyaların Laplace çevrilməsi güc funksiyası çevrilməsindən daha sadə görünür. İlə vurma ${ Displaystyle e ^ {at}}$ t bölgəsində uyğun gəlir keçid s bölgəsində:
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Bu xüsusiyyət kimi funksiyaların çevrilməsini dərhal tapmağa imkan verir ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$inteqral hesablamadan:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Funksiyanın çarpılan Laplas çevrilməsini tapaq tn{ Displaystyle t ^ {n}}. Birincisi, vurma sayını düşünün ${ Displaystyle t}$... Tərifə görə, bir funksiyanı inteqral altında fərqləndirmək və təəccüblü dərəcədə sadə bir nəticə əldə etmək olar:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Bu əməliyyatı təkrarlayaraq son nəticəni əldə edirik:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • İnteqrasiya və fərqləndirmə operatorlarının yenidən qurulması bəzi əlavə əsaslandırmalar tələb etsə də, burada təqdim etməyəcəyik, ancaq son nəticənin məntiqli olması halında bu əməliyyatın düzgün olduğunu qeyd edirik. Dəyişənlərin olduğunu da nəzərə ala bilərsiniz ${ Displaystyle s}$ və ${ Displaystyle t}$ bir -birindən asılı deyil.
   • Bu qaydanı istifadə edərək, kimi funksiyaların çevrilməsini tapmaq asandır ${ Displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, hissələrlə yenidən inteqrasiya olunmadan:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Funksiyanın Laplas çevrilməsini tapın f(at){ Displaystyle f (at)}. Bir dəyişikliyin tərifindən istifadə edərək dəyişəni u ilə əvəz etməklə bunu asanlıqla etmək olar:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F sol ({ frac {s} {a}} sağ) son {aligned}}}$
   • Yuxarıda, funksiyaların Laplace çevrilməsini tapdıq ${ displaystyle sin at}$ və ${ Displaystyle cos at}$ birbaşa eksponensial funksiyadan. Bu xüsusiyyətdən istifadə edərək, real və xəyali hissələri tapsanız eyni nəticəni əldə edə bilərsiniz ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Törəmənin Laplas çevrilməsini tapın f′(t){ Displaystyle f ^ { prime} (t)}. Əvvəlki nümunələrdən fərqli olaraq, bu halda etməli parça -parça birləşdirin:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Böyük _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • İkinci törəmə bir çox fiziki problemdə meydana gəldiyindən, bunun üçün də Laplas çevrilməsini tapırıq:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Ümumi halda, n -ci dərəcəli törəmənin Laplace çevrilməsi aşağıdakı kimi təyin olunur (bu, Laplas çevrilməsindən istifadə edərək diferensial tənliklərin həllinə imkan verir):
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3 -dən 3 -cü hissə: Serial Genişləndirmə ilə Laplas Dönüşümünü Tapın

1. 1 Dövri bir funksiya üçün Laplas çevrilməsini tapaq. Dövri funksiya şərti təmin edir ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ harada ${ Displaystyle T}$ funksiyanın dövrüdür və ${ Displaystyle n}$ müsbət tam ədəddir. Dövri funksiyalar siqnal emalı və elektrik mühəndisliyi də daxil olmaqla bir çox tətbiqlərdə geniş istifadə olunur. Sadə çevrilmələrdən istifadə edərək aşağıdakı nəticəni əldə edirik:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { hizalanmış}}}$
   • Gördüyünüz kimi, dövri bir funksiya vəziyyətində, bir dövr üçün Laplas çevrilməsini yerinə yetirmək kifayətdir.
2. 2 Təbii loqarifma üçün Laplas çevrilməsini həyata keçirin. Bu halda inteqral elementar funksiyalar şəklində ifadə oluna bilməz. Qamma funksiyasından və onun seriya genişlənməsindən istifadə edərək təbii loqarifma və dərəcələrini qiymətləndirə bilərsiniz. Euler-Mascheroni sabitinin olması ${ Displaystyle gamma}$ göstərir ki, bu inteqralı qiymətləndirmək üçün bir sıra genişləndirmədən istifadə etmək lazımdır.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Normal olmayan Sinc funksiyasının Laplas çevrilməsini nəzərdən keçirək. Funksiya ${ displaystyle operator adı {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ siqnal emalı üçün geniş istifadə olunur, diferensial tənliklərdə birinci dərəcəli və sıfır əmrli sferik Bessel funksiyasına bərabərdir. ${ Displaystyle j_ {0} (x).}$ Bu funksiyanın Laplas çevrilməsi də standart üsullarla hesablana bilməz. Bu vəziyyətdə, güc funksiyası olan seriyanın ayrı -ayrı üzvlərinin çevrilməsi həyata keçirilir, buna görə də onların çevrilmələri mütləq müəyyən bir aralığa yaxınlaşır.
   • Əvvəlcə Taylor seriyasında funksiyanın genişlənməsini yazırıq:
     • ${ Displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • İndi güc funksiyasının Laplace çevrilməsindən istifadə edirik. Faktoriallar ləğv edilir və nəticədə arktangens üçün Taylor genişlənməsini əldə edirik, yəni sinus üçün Taylor seriyasına bənzəyən, lakin faktorialları olmayan alternativ bir sıra:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$