MəZmun

• Addımlar
• 3 -dən 1 -ci hissə: Faktoring binomları
• 3 -dən 2 -ci hissə: Tənliklərin həlli üçün binomların faktorlanması
• 3 -dən 3 -cü hissə: Kompleks Problemlərin həlli
• İpuçları
• Xəbərdarlıqlar

Binomial (binomial), aralarında bir artı və ya eksi işarəsi olan iki termin olan riyazi bir ifadədir, məsələn, ${ Displaystyle ax + b}$... Birinci üzv dəyişəni ehtiva edir, ikincisi isə daxil edir və ya daxil etmir. Bir binomialın faktorlanması, çoxaldıqda onu həll etmək və ya sadələşdirmək üçün orijinal binomial istehsal edən şərtləri tapmağı əhatə edir.

Addımlar

3 -dən 1 -ci hissə: Faktoring binomları

1. 1 Faktorinq prosesinin əsaslarını anlayın. Bir binomialı faktoring edərkən, orijinal binomialın hər bir müddətinin bölücü faktoru mötərizədən çıxarılır. Məsələn, 6 rəqəmi tamamilə 1, 2, 3, 6 -ya bölünür. Beləliklə, 6 rəqəminin bölücüləri 1, 2, 3, 6 ədədləridir.
   • Bölücülər 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Hər hansı bir ədədin bölücüləri 1 və ədədin özüdür. Məsələn, 3 -ə bölənlər 1 və 3 -ə bərabərdir.
   • Tam ədədlərin bölücüləri yalnız tam ədədlər ola bilər. 32 rəqəmi 3.564 və ya 21.4952 -ə bölünə bilər, ancaq tam ədəd deyil, ondalık kəsr əldə edirsiniz.
2. 2 Faktoring prosesini asanlaşdırmaq üçün binomial şərtlərini sifariş edin. Binomial, ən azı biri dəyişən olan iki terminin cəmi və ya fərqidir. Bəzən dəyişənlər bir gücə qaldırılır, məsələn, ${ Displaystyle x ^ {2}}$ və ya ${ Displaystyle 5y ^ {4}}$... Binomialın şərtlərini eksponentlərin artan sırasına görə sıralamaq daha yaxşıdır, yəni ən kiçik eksponentə malik olan termin əvvəl yazılır və ən böyüyü ilə sonuncu. Misal üçün:
   • ${ Displaystyle 3t + 6}$ → ${ Displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ Displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ Displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ Displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • 2 -nin qarşısındakı minus işarəsinə diqqət yetirin.
3. 3 Hər iki terminin ən böyük ortaq bölücüsünü (GCD) tapın. GCD, binomialın hər iki üzvünün bölündüyü ən böyük rəqəmdir. Bunu etmək üçün binomialda hər bir terminin bölücülərini tapın və sonra ən böyük ortaq bölücüyü seçin. Misal üçün:
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 3t + 6}$.
     • Bölücülər 3: 1, 3
     • Bölücülər 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Binomialdakı hər termini Ən Böyük Ortaq Bölücüyə (GCD) bölün. GCD -ni nəzərə almaq üçün bunu edin. Qeyd edək ki, binomialın hər bir üzvü azalır (bölündüyü üçün), lakin GCD parantezdən çıxarılsa, son ifadə orijinala bərabər olacaq.
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD tapın: 3
   • Hər bir binomial termini gcd ilə bölün:${ Displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Bölücüyü mötərizədən çıxarın. Daha əvvəl binomialın hər iki şərtini bölücü 3 -ə bölüb aldınız ${ Displaystyle t + 2}$... Ancaq 3 -dən qurtula bilməzsiniz - ilkin və son ifadələrin dəyərlərinin bərabər olması üçün 3 -ü mötərizənin xaricinə qoymalı və mötərizədə bölmə nəticəsində əldə edilən ifadəni yazmalısınız. Misal üçün:
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD tapın: 3
   • Hər bir binomial termini gcd ilə bölün:${ Displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Yaranan ifadəyə görə böləni vurun:${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Cavab: ${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Cavabınızı yoxlayın. Bunu etmək üçün mötərizədəki ifadəni mötərizədəki hər bir terminlə vurun. Orijinal binomialı alsanız, həll doğrudur. İndi problemi həll edin ${ Displaystyle 12t + 18}$:
   • Üzvləri sifariş edin:${ Displaystyle 18 + 12t}$
   • GCD tapın:${ Displaystyle 6}$
   • Hər bir binomial termini gcd ilə bölün:${ Displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Yaranan ifadəyə görə böləni vurun:${ Displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Cavabı yoxlayın:${ Displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

3 -dən 2 -ci hissə: Tənliklərin həlli üçün binomların faktorlanması

1. 1 Sadələşdirmək və tənliyi həll etmək üçün binomial faktor. İlk baxışda bəzi tənlikləri (xüsusən kompleks binomlarla) həll etmək qeyri -mümkün görünür. Məsələn, tənliyi həll edin ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Bu tənlikdə güclər var, buna görə əvvəlcə ifadəni nəzərə alın.
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Unutmayın ki, bir binomialın iki üzvü var. İfadədə daha çox termin varsa, polinomların həllini öyrənin.
2. 2 Tənliyin hər iki tərəfinə bir monomial əlavə edin və ya çıxarın ki, tənliyin bir tərəfində sıfır qalsın. Faktorizasiya halında, tənliklərin həlli sıfıra vurulan hər hansı bir ifadənin sıfıra bərabər olduğu dəyişməz bir həqiqətə əsaslanır. Buna görə də tənliyi sıfıra bərabərləşdirsək, onun faktorlarından hər hansı biri sıfıra bərabər olmalıdır. Tənliyin bir tərəfini 0 olaraq təyin edin.
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Sıfıra qoyun:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Yaranan çöpü amil edin. Bunu əvvəlki hissədə təsvir edildiyi kimi edin. Ən böyük ortaq faktoru (GCD) tapın, binomialın hər iki hissəsini ona bölün və sonra faktoru mötərizədən çıxarın.
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Sıfıra qoyun:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Hər bir faktoru sıfıra qoyun. Yaranan ifadədə 2y 4 - y ilə vurulur və bu məhsul sıfıra bərabərdir. Sıfırla vurulan hər hansı bir ifadə (və ya termin) sıfır olduğu üçün 2y və ya 4 - y 0 -dır. "Y" tapmaq üçün ortaya çıxan monomial və binomial sıfıra qoyun.
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Sıfıra qoyun:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Hər iki amili 0 olaraq təyin edin:
     • ${ Displaystyle 2y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Son cavabı (və ya cavabları) tapmaq üçün ortaya çıxan tənlikləri həll edin. Hər bir faktor sıfıra bərabər olduğu üçün tənliyin birdən çox həlli ola bilər. Bizim nümunədə:
   • ${ Displaystyle 2y = 0}$
     • ${ Displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Cavabınızı yoxlayın. Bunu etmək üçün tapılan dəyərləri orijinal tənliklə əvəz edin. Əgər bərabərlik doğrudursa, qərar doğrudur. Tapılan dəyərləri "y" əvəzinə qoyun. Misalımızda y = 0 və y = 4:
   • ${ Displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ Displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ Displaystyle 0 = 0}$Bu düzgün qərardır
   • ${ Displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ Displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ Displaystyle -12 = -12}$Və bu doğru qərardır

3 -dən 3 -cü hissə: Kompleks Problemlərin həlli

1. 1 Unutmayın ki, bir dəyişənə malik olan bir termin, faktorlara bölünə bilər, hətta dəyişən bir gücə qaldırılsa belə. Faktorinq edərkən binomialın hər bir üzvünü inteqral olaraq ayıran bir monomial tapmaq lazımdır. Məsələn, monomial ${ Displaystyle x ^ {4}}$ faktorizə etmək olar ${ Displaystyle x * x * x * x}$... Yəni binomialın ikinci terminində "x" dəyişəni də varsa, mötərizədən "x" çıxarıla bilər. Beləliklə, dəyişənləri tam ədəd kimi qəbul edin. Misal üçün:
   • Binomialın hər iki üzvü ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ "t" ehtiva edir, buna görə "t" mötərizədən çıxarıla bilər: ${ Displaystyle t (2 + t)}$
   • Ayrıca, bir gücə qaldırılan bir dəyişən mötərizədən çıxarıla bilər. Məsələn, binomialın hər iki üzvü ${ Displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ ehtiva edir ${ Displaystyle x ^ {2}}$, belə ki ${ Displaystyle x ^ {2}}$ mötərizədən çıxarıla bilər: ${ Displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Binomial əldə etmək üçün oxşar şərtləri əlavə edin və ya çıxarın. Məsələn, ifadə verildikdə ${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... İlk baxışdan bu bir polinomdur, amma əslində bu ifadə ikiyə çevrilə bilər. Oxşar şərtlər əlavə edin: 6 və 14 (dəyişən yoxdur) və 2x və 3x (eyni "x" dəyişənini ehtiva edir). Bu halda faktorinq prosesi sadələşdiriləcək:
   • Orijinal ifadə:${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Üzvləri sifariş edin:${ Displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Oxşar şərtlər əlavə edin:${ Displaystyle 5x + 20}$
   • GCD tapın:${ Displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ Displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Mükəmməl kvadratların fərqini müəyyənləşdirin. Mükəmməl bir kvadrat, məsələn, kök kökü tam ədəd olan bir rəqəmdir ${ Displaystyle 9}$${ Displaystyle (3 * 3)}$, ${ Displaystyle x ^ {2}}$${ Displaystyle (x * x)}$ və hətta ${ Displaystyle 144t ^ {2}}$${ Displaystyle (12t * 12t)}$... Binomial mükəmməl kvadratların fərqidirsə, məsələn, ${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, sonra formula ilə faktorize edilir:
   • Kvadrat formulunun fərqi:${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Kvadrat kökləri çıxarın:
     • ${ Displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Tapılan dəyərləri formula ilə əvəz edin: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Tam kublar arasındakı fərqi müəyyənləşdirin. Binomial tam kubların fərqidirsə, məsələn, ${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, sonra xüsusi bir düsturla faktorize edilir. Bu vəziyyətdə, binomialın hər bir üzvündən kub kökünü çıxarmaq və tapılan dəyərləri düsturla əvəz etmək lazımdır.
   • Kublar arasındakı fərqin düsturu:${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Kub kökləri çıxarın:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Tapılan dəyərləri formula ilə əvəz edin: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Tam kubların cəmini hesablayın. Mükəmməl kvadratların cəmindən fərqli olaraq, tam kubların cəmi, məsələn, ${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, xüsusi bir düsturla faktorizə edilə bilər. Küplər arasındakı fərq formuluna bənzəyir, ancaq işarələr tərsinə çevrilir. Düstur olduqca sadədir - istifadə etmək üçün problemdəki tam kubların cəmini tapın.
   • Kubların cəmi üçün düstur:${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Tapşırıq:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Kub kökləri çıxarın:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Tapılan dəyərləri formula ilə əvəz edin: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

İpuçları

• Bəzən binomial üzvlərin ortaq bölücüləri olmur. Bəzi vəzifələrdə üzvlər sadələşdirilmiş formada təqdim olunur.
• GCD -ni dərhal tapa bilmirsinizsə, kiçik rəqəmlərə bölməklə başlayın. Məsələn, 32 və 16 rəqəmlərinin GCD -nin 16 olduğunu görmürsənsə, hər iki rəqəmi 2 -ə böl. 16 və 8 alırsan; bu ədədləri 8 -ə bölmək olar. İndi 2 və 1 alırsınız; bu rəqəmləri azaltmaq olmaz. Beləliklə, verilən iki ədədin ortaq bölücüsü olan daha böyük bir rəqəmin (8 və 2 ilə müqayisədə) olduğu açıqdır.
• Qeyd edək ki, altıncı dərəcəli şərtlər (məsələn, x-in 6-sı ilə) həm mükəmməl kvadratlar, həm də mükəmməl kublardır. Beləliklə, altıncı sıra şərtləri olan binomiallara, məsələn, x - 64, kvadratların və kubların fərqinin düsturlarını (istənilən qaydada) tətbiq etmək olar. Ancaq bir binomial ilə daha düzgün parçalanmaq üçün əvvəlcə kvadratların fərqi üçün düsturu tətbiq etmək daha yaxşıdır.

Xəbərdarlıqlar

• Mükəmməl kvadratların cəmi olan bir binomialı faktorize etmək olmaz.