MəZmun

• Addımlar
• 4 -cü hissə 1: Bir tənlik necə yazılır
• 4 -cü hissə 2: Evklid alqoritmi necə yazılır
• 4 -dən 3 -cü hissə: Öklid alqoritmindən istifadə edərək bir həll necə tapılır
• 4 -dən 4 -cü hissə: Sonsuz Digər Çözümlər tapın

Xətti Diofantin tənliyini həll etmək üçün tam ədəd olan "x" və "y" dəyişənlərinin dəyərlərini tapmaq lazımdır. Tam ədəd həlli həmişəkindən daha mürəkkəbdir və müəyyən hərəkətlər dəsti tələb edir. Əvvəlcə əmsalların ən böyük ümumi bölücüsünü (GCD) hesablamalı və sonra bir həll tapmalısınız. Xətti tənliyə bir tam ədəd həllini tapdıqdan sonra, sonsuz sayda başqa həll tapmaq üçün sadə bir nümunədən istifadə edə bilərsiniz.

Addımlar

4 -cü hissə 1: Bir tənlik necə yazılır

1. 1 Tənliyi standart formada yazın. Xətti tənlik, dəyişənlərin göstəriciləri 1 -dən artıq olmayan bir tənlikdir. Belə xətti tənliyi həll etmək üçün əvvəlcə standart formada yazın. Xətti tənliyin standart forması belə görünür: ${ Displaystyle Ax + By = C}$, harada ${ Displaystyle A, B}$ və ${ Displaystyle C}$ - tam ədədlər.
   • Tənlik fərqli bir formada verilirsə, əsas cəbr əməliyyatlarından istifadə edərək onu standart formaya gətirin. Məsələn, tənlik verilir ${ Displaystyle 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... Bənzər şərtlər verin və tənliyi belə yazın: ${ Displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Tənliyi sadələşdirin (mümkünsə). Tənliyi standart formada yazarkən əmsallara baxın ${ Displaystyle A, B}$ və ${ Displaystyle C}$... Bu nisbətlərdə bir GCD varsa, hər üç əmsalı da ona bölün. Belə sadələşdirilmiş tənliyin həlli də orijinal tənliyin həlli olacaq.
   • Məsələn, hər üç əmsal bərabərdirsə, onları ən azı 2 -yə bölün. Məsələn:
     • ${ Displaystyle 42x + 36y = 48}$ (bütün üzvlər 2 -yə bölünür)
     • ${ Displaystyle 21x + 18y = 24}$ (indi bütün üzvlər 3 -ə bölünür)
     • ${ Displaystyle 7x + 6y = 8}$ (bu tənlik artıq sadələşdirilə bilməz)
3. 3 Tənliyin həll oluna biləcəyini yoxlayın. Bəzi hallarda, tənliyin heç bir həlli olmadığını dərhal bildirə bilərsiniz. "C" əmsalı "A" və "B" əmsallarının GCD -ə bölünmürsə, tənliyin həlli yoxdur.
   • Məsələn, hər iki əmsal ${ Displaystyle A}$ və ${ Displaystyle B}$ bərabərdir, sonra əmsal ${ Displaystyle C}$ bərabər olmalıdır. Amma əgər ${ Displaystyle C}$ qəribədir, onda həll yoxdur.
     • Tənlik ${ Displaystyle 2x + 4y = 21}$ tam ədəd həlli yoxdur.
     • Tənlik ${ Displaystyle 5x + 10y = 17}$ tənliyin sol tərəfi 5 -ə bölündüyü üçün sağ tərəfi olmadığı üçün tam ədəd həlli yoxdur.

4 -cü hissə 2: Evklid alqoritmi necə yazılır

1. 1 Evklidin alqoritmini başa düş. Əvvəlki qalanın növbəti bölücü kimi istifadə edildiyi təkrarlanan bölmələr seriyasıdır. Nömrələri inteqral olaraq ayıran son bölücü, iki ədədin ən böyük ortaq bölücüdür (GCD).
   • Məsələn, Evklid alqoritmindən istifadə edərək 272 və 36 rəqəmlərinin GCD -ni tapaq:
     • ${ Displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - Böyük rəqəmi (272) kiçik olana (36) bölün və qalana (20) diqqət yetirin;
     • ${ Displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - əvvəlki böləni (36) əvvəlki qalana (20) bölün. Yeni qalıqlara diqqət yetirin (16);
     • ${ Displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - əvvəlki böləni (20) əvvəlki qalana (16) bölün. Yeni qalıqlara diqqət yetirin (4);
     • ${ Displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - Əvvəlki böləni (16) əvvəlki qalana (4) bölün. Qalan 0 olduğu üçün 4 -ün orijinal 272 və 36 rəqəmlərinin GCD olduğunu söyləyə bilərik.
2. 2 Evklidin alqoritmini "A" və "B" əmsallarına tətbiq edin. Xətti tənliyi standart formada yazarkən "A" və "B" əmsallarını təyin edin və sonra GCD -ni tapmaq üçün onlara Evklidin alqoritmini tətbiq edin. Məsələn, xətti bir tənlik verilir ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Budur Evklidin A = 87 və B = 64 əmsalları alqoritmi:
     • ${ Displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ Displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ Displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ Displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ Displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ Displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Ən Böyük Ümumi Faktoru (GCD) tapın. Son bölücü 1 olduğundan, GCD 87 və 64 1 -dir. Beləliklə, 87 və 64 bir -birinə nisbətən sadə ədədlərdir.
4. 4 Nəticəni təhlil edin. Gcd əmsallarını tapdığınız zaman ${ Displaystyle A}$ və ${ Displaystyle B}$, əmsal ilə müqayisə edin ${ Displaystyle C}$ orijinal tənlik. Əgər ${ Displaystyle C}$ gcd ilə bölünür ${ Displaystyle A}$ və ${ Displaystyle B}$, tənliyin tam bir həlli var; əks halda tənliyin həlli yoxdur.
   • Məsələn, tənlik ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$ 3 həll edilə bilər, çünki 3 1 -ə bölünür (gcd = 1).
   • Məsələn, GCD = 5 olduğunu düşünün. 3 bərabər 5 -ə bölünmür, buna görə də bu tənliyin tam ədəd həlli yoxdur.
   • Aşağıda göstərildiyi kimi, bir tənliyin bir tam ədəd həlli varsa, sonsuz sayda digər tam ədəd həllinə də malikdir.

4 -dən 3 -cü hissə: Öklid alqoritmindən istifadə edərək bir həll necə tapılır

1. 1 GCD hesablamaq üçün addımları nömrələyin. Xətti tənliyin həllini tapmaq üçün əvəzləmə və sadələşdirmə prosesinin əsası olaraq Evklid alqoritmindən istifadə etməlisiniz.
   • GCD hesablamaq üçün addımları nömrələməklə başlayın. Hesablama prosesi belə görünür:
     • ${ displaystyle { text {Addım 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {Addım 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {Addım 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {Addım 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Addım 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {Addım 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {Addım 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Qalanın olduğu son mərhələyə diqqət yetirin. Qalanları təcrid etmək üçün bu addımın tənliyini yenidən yazın.
   • Misalımızda, qalıq ilə son addım 6 -cı addımdır. Qalan 1 -dir. 6 -cı addımdakı tənliyi aşağıdakı kimi yenidən yazın:
     • ${ Displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Əvvəlki addımın qalan hissəsini ayırın. Bu proses addım-addım "yuxarıya doğru" gedir. Hər dəfə əvvəlki addımdakı tənliyi qalanını təcrid edəcəksiniz.
   • Addım 5 -də tənliyin qalan hissəsini ayırın:
     • ${ Displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ və ya ${ Displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 Əvəz edin və sadələşdirin. Qeyd edək ki, 6 -cı addımdakı tənlik 2 rəqəmini ehtiva edir və 5 -ci addımdakı tənlikdə 2 rəqəmi təcrid olunur. Beləliklə, 6 -cı addımdakı "2" əvəzinə 5 -ci addımdakı ifadəni əvəz edin:
   • ${ Displaystyle 1 = 3-2}$ (6 -cı addımın tənliyi)
   • ${ Displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (2 əvəzinə bir ifadə əvəz edildi)
   • ${ Displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (açılan mötərizələr)
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (sadələşdirilmiş)
5. 5 Əvəzetmə və sadələşdirmə prosesini təkrarlayın. Evklid alqoritmini tərs qaydada hərəkət edərək təsvir olunan prosesi təkrarlayın. Hər dəfə əvvəlki addımdakı tənliyi yenidən yazacaq və əldə etdiyiniz son tənliyə qoşacaqsınız.
   • Baxdığımız son addım 5 -ci addım idi. 4 -cü addıma keçin və qalanı həmin addım üçün tənlikdə təcrid edin:
     • ${ Displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Son ifadədə bu ifadəni "3" ilə əvəz edin:
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Əvəzetmə və sadələşdirmə prosesinə davam edin. Evklid alqoritminin ilkin mərhələsinə çatana qədər bu proses təkrarlanacaq. Prosesin məqsədi həll ediləcək orijinal tənliyin 87 və 64 katsayıları olan tənliyi yazmaqdır. Bizim nümunədə:
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (3 -cü addımdakı ifadəni əvəz etdi)
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (2 -ci addımdakı ifadəni əvəz etdi)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (1 -ci addımdakı ifadəni əvəz etdi)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Yaranan tənliyi orijinal əmsallara uyğun olaraq yenidən yazın. Evklid alqoritminin ilk addımına qayıtdıqda, ortaya çıxan tənliyin orijinal tənliyin iki əmsalını ehtiva etdiyini görəcəksiniz. Tənliyi yenidən yazın ki, şərtlərinin sırası orijinal tənliyin əmsallarına uyğun olsun.
   • Misalımızda, orijinal tənlik ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$... Buna görə əmsalları uyğunlaşdırmaq üçün ortaya çıxan tənliyi yenidən yazın."64" əmsalına xüsusi diqqət yetirin. Orijinal tənlikdə bu əmsal mənfi, Evklid alqoritmində isə müsbətdir. Buna görə də 34 faktoru neqativ edilməlidir. Son tənlik belə yazılacaq:
     • ${ Displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Bir həll tapmaq üçün uyğun çarpan tətbiq edin. Nəzərə alın ki, nümunəmizdə GCD = 1 olduğu üçün yekun tənlik 1-dir. Amma orijinal tənlik (87x-64y) 3 -dür. Buna görə də həllini əldə etmək üçün yekun tənlikdəki bütün terminlər 3-ə vurulmalıdır:
   • ${ Displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Tam tənliyin həllini yazın. Orijinal tənliyin əmsalları ilə vurulan ədədlər bu tənliyin həllidir.
   • Misalımızda, həllini bir cüt koordinat olaraq yazın: ${ Displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.

4 -dən 4 -cü hissə: Sonsuz Digər Çözümlər tapın

1. 1 Sonsuz sayda həll olduğunu anlayın. Xətti tənliyin bir tam ədəd həlli varsa, o zaman sonsuz çoxlu tam həlli olmalıdır. İşdə qısa bir dəlil (cəbr şəklində):
   • ${ Displaystyle Ax + By = C}$
   • ${ Displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ ("x" ə "B" əlavə etsəniz və "y" dən "A" çıxarsanız, orijinal tənliyin dəyəri dəyişməyəcək)
2. 2 Orijinal x və y dəyərlərini qeyd edin. Növbəti (sonsuz) həllərin hesablanması üçün şablon artıq tapdığınız yeganə həll yolu ilə başlayır.
   • Misalımızda həll bir cüt koordinatdır ${ Displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.
3. 3 "B" faktorunu "x" dəyərinə əlavə edin. Yeni x dəyərini tapmaq üçün bunu edin.
   • Misalımızda x = -75 və B = -64:
     • ${ Displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • Beləliklə, yeni "x" dəyəri: x = -139.
4. 4 "A" faktorunu "y" dəyərindən çıxarın. Orijinal tənliyin dəyəri dəyişməməsi üçün "x" ə bir ədəd əlavə edərkən "y" dən başqa bir rəqəm çıxarmaq lazımdır.
   • Misalımızda y = -102 və A = 87:
     • ${ Displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • Beləliklə, "y" üçün yeni dəyər: y = -189.
   • Yeni cüt koordinatlar belə yazılacaq: ${ Displaystyle (x, y) = ( - 139, -189)}$.
5. 5 Çözümü yoxlayın. Yeni koordinat cütünün orijinal tənliyə bir həll olduğunu yoxlamaq üçün dəyərləri tənliyə qoşun.
   • ${ Displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ Displaystyle 3 = 3}$
   • Bərabərlik təmin olunduğundan qərar düzgündür.
6. 6 Bir çox həll tapmaq üçün ifadələr yazın. "X" dəyərləri orijinal həllə bərabər "B" faktorunun hər hansı bir çoxluğuna bərabər olacaq. Bunu aşağıdakı ifadə kimi yazmaq olar:
   • x (k) = x + k (B), burada "x (k)" "x" dəyərlər toplusudur və "x" tapdığınız "x" in orijinal (ilk) dəyəridir.
     • Bizim nümunədə:
     • ${ Displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), burada y (k) y dəyərlər toplusudur və y, tapdığınız orijinal (ilk) y dəyəridir.
     • Bizim nümunədə:
     • ${ Displaystyle y (k) = - 102-87k}$