MəZmun

• Addımlar
• Metod 3: bilinməyən tərəfi necə tapmaq olar
• Metod 2 /3: Bilinməyən bir açı tapın
• Metod 3 /3: Nümunə Problemlər
• İpuçları

Kosinum teoremi trigonometriyada geniş istifadə olunur. Düzensiz üçbucaqlar ilə işləyərkən, tərəflər və açılar kimi bilinməyən miqdarları tapmaq üçün istifadə olunur. Teorem Pifaqor teoreminə bənzəyir və yadda saxlamaq olduqca asandır. Kosinüs teoremi, hər hansı bir üçbucaqda olduğunu söyləyir ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Addımlar

Metod 3: bilinməyən tərəfi necə tapmaq olar

1. 1 Bilinən dəyərləri yazın. Üçbucağın bilinməyən tərəfini tapmaq üçün digər iki tərəfini və aralarındakı bucağı bilmək lazımdır.
   • Məsələn, XYZ üçbucağı verilir. YX tərəfi 5 sm, YZ tərəfi 9 sm və Y açısı 89 ° -dir. XZ tərəfi nədir?
2. 2 Kosinus teoremi düsturunu yazın. Düstur: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, harada ${ Displaystyle c}$ - naməlum tərəf, ${ Displaystyle cos {C}}$ - naməlum tərəfin əks tərəfindəki bucağın kosinusu, ${ Displaystyle a}$ və ${ Displaystyle b}$ - iki tanınmış tərəf.
3. 3 Bilinən dəyərləri formula daxil edin. Dəyişənlər ${ Displaystyle a}$ və ${ Displaystyle b}$ məlum iki tərəfi ifadə edir. Dəyişən ${ Displaystyle C}$ tərəflər arasında yerləşən məlum bucaqdır ${ Displaystyle a}$ və ${ Displaystyle b}$.
   • Bizim nümunəmizdə XZ tərəfi bilinmir, buna görə də formulda belə işarələnir ${ Displaystyle c}$... YX və YZ tərəfləri məlum olduğu üçün dəyişənlərlə işarə olunur ${ Displaystyle a}$ və ${ Displaystyle b}$... Dəyişən ${ Displaystyle C}$ Y bucağıdır. Beləliklə, formula aşağıdakı kimi yazılacaq: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Bilinən bucağın kosinusunu tapın. Bunu bir kalkulyatorla edin. Bir açı dəyəri daxil edin və sonra vurun ${ Displaystyle COS}$... Elmi bir kalkulyatorunuz yoxdursa, məsələn, burada onlayn kosinus cədvəli tapın. Həm də Yandex -də "X dərəcə kosinüsünü" daxil edə bilərsiniz (X üçün bucaq dəyərini əvəz edin) və axtarış sistemi bucağın kosinüsünü göstərəcəkdir.
   • Məsələn, kosinus 89 ° ≈ 0.01745 -dir. Belə ki: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 Nömrələri vurun. Çarpın ${ displaystyle 2ab}$ məlum bucağın kosinusu ilə.
   • Misal üçün:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 Məlum tərəflərin kvadratlarını qatlayın. Unutmayın ki, bir rəqəmi kvadratlaşdırmaq üçün onun özü vurulmalıdır. Əvvəlcə müvafiq ədədləri kvadratlaşdırın və sonra ortaya çıxan dəyərləri əlavə edin.
   • Misal üçün:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 İki ədəd çıxarın. Tapacaqsan ${ Displaystyle c ^ {2}}$.
   • Misal üçün:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Bu dəyərin kvadrat kökünü götürün. Bunu etmək üçün bir kalkulyatordan istifadə edin. Bilinməyən tərəfi belə tapırsınız.
   • Misal üçün:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ Displaystyle c = 10.2191}$
     Beləliklə, bilinməyən tərəfi 10.2191 sm -dir.

Metod 2 /3: Bilinməyən bir açı tapın

1. 1 Bilinən dəyərləri yazın. Üçbucağın bilinməyən bucağını tapmaq üçün üçbucağın hər üç tərəfini bilmək lazımdır.
   • Məsələn, RST üçbucağı verilir. Yan CP = 8 sm, ST = 10 sm, PT = 12 sm, S açısının dəyərini tapın.
2. 2 Kosinus teoremi düsturunu yazın. Düstur: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, harada ${ Displaystyle cos {C}}$ - naməlum bucağın kosinusu, ${ Displaystyle c}$ - bilinməyən bir küncün qarşısındakı bilinən tərəf, ${ Displaystyle a}$ və ${ Displaystyle b}$ - digər iki məşhur partiya.
3. 3 Dəyərləri tapın a{ Displaystyle a}, b{ Displaystyle b} və c{ Displaystyle c}. Sonra onları formula qoşun.
   • Məsələn, RT tərəfi bilinməyən S açısına ziddir, buna görə RT tərəfi ${ Displaystyle c}$ formulda. Digər partiyalar edəcək ${ Displaystyle a}$ və ${ Displaystyle b}$... Beləliklə, formula aşağıdakı kimi yazılacaq: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Nömrələri vurun. Çarpın ${ displaystyle 2ab}$ naməlum bucağın kosinusu ilə.
   • Misal üçün, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Dik c{ Displaystyle c} bir meydanda. Yəni rəqəmin özünü vurun.
   • Misal üçün, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Kvadratları qatlayın a{ Displaystyle a} və b{ Displaystyle b}. Ancaq əvvəlcə müvafiq ədədləri kvadratlaşdırın.
   • Misal üçün:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Bilinməyən bucağın kosinusunu təcrid edin. Bunu etmək üçün məbləği çıxarın ${ Displaystyle a ^ {2}}$ və ${ Displaystyle b ^ {2}}$ tənliyin hər iki tərəfindən. Sonra tənliyin hər tərəfini bilinməyən bucağın kosinüsündəki amilə bölün.
   • Məsələn, bilinməyən bucağın kosinüsünü təcrid etmək üçün tənliyin hər iki tərəfindən 164 çıxarın və sonra hər tərəfi -160 -a bölün:
     ${ Displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ Displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 Tərs kosinusu hesablayın. Bu, bilinməyən bucağın dəyərini tapacaq. Kalkulyatorda tərs kosinus funksiyası işarələnmişdir ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Məsələn, 0.0125 arcosin 82.8192 -dir. Beləliklə, S açısı 82.8192 ° -dir.

Metod 3 /3: Nümunə Problemlər

1. 1 Üçbucağın bilinməyən tərəfini tapın. Məlum tərəflər 20 sm və 17 sm, aralarındakı bucaq isə 68 ° -dir.
   • Sizə iki tərəf və aralarındakı bucaq verildiyindən kosinus teoremindən istifadə edə bilərsiniz. Formulu yazın: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Bilinməyən tərəfi budur ${ Displaystyle c}$... Bilinən dəyərləri düstura daxil edin: ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Hesablayın ${ Displaystyle c ^ {2}}$riyazi əməliyyatların ardıcıllığını müşahidə edərək:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü götürün. Bilinməyən tərəfi belə tapırsınız:
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ Displaystyle c = 20.8391}$
     Beləliklə, bilinməyən tərəfi 20.8391 sm -dir.
2. 2 GHI üçbucağında H bucağını tapın. H küncünə bitişik iki tərəf 22 və 16 sm, H küncünə qarşı tərəf 13 sm -dir.
   • Hər üç tərəf verildiyi üçün kosinum teoremi istifadə edilə bilər. Formulu yazın: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Bilinməyən küncün əks tərəfi ${ Displaystyle c}$... Bilinən dəyərləri düstura daxil edin: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Yaranan ifadəni sadələşdirin:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Kosinusu təcrid edin:
     ${ Displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Tərs kosinusu tapın. Bilinməyən bucağı belə hesablayırsınız:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Beləliklə, H bucağı 35.7985 ° -dir.
3. 3 Cığırın uzunluğunu tapın. Çay, təpəlik və bataqlıq yolları üçbucaq təşkil edir. Çay Trailinin uzunluğu 3 km, Təpəli Cığırın uzunluğu 5 km; bu yollar 135 ° bir açı ilə bir -biri ilə kəsişir. Bataqlıq yolu digər yolların iki ucunu birləşdirir. Bataqlıq yolunun uzunluğunu tapın.
   • Yollar üçbucaq təşkil edir. Üçbucağın tərəfi olan naməlum yolun uzunluğunu tapmaq lazımdır. Digər iki yolun uzunluğu və aralarındakı bucaq verildiyindən kosinus teoremi istifadə edilə bilər.
   • Formulu yazın: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Bilinməyən yol (Bataqlıq) kimi işarələnəcək ${ Displaystyle c}$... Bilinən dəyərləri düstura daxil edin: ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Hesablayın ${ Displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Tənliyin hər iki tərəfinin kvadrat kökünü götürün. Naməlum yolun uzunluğunu belə tapa bilərsiniz:
     ${ Displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ Displaystyle c = 7.4306}$
     Beləliklə, Bataqlıq Cığırının uzunluğu 7.4306 km -dir.

İpuçları

• Sinus teoremindən istifadə etmək daha asandır. Buna görə əvvəlcə bu problemə tətbiq oluna biləcəyini öyrənin.