MəZmun

• Addımlar
• Metod 1 3: Bir sabit tənlik olmadan bir kub tənliyini necə həll etmək olar
• Metod 2 /3: Çarpanlardan istifadə edərək Bütün Kökləri Necə Tapmaq olar
• Metod 3 /3: Diskriminantdan istifadə edərək bir tənliyi necə həll etmək olar

Bir kub tənliyində ən yüksək göstərici 3, belə bir tənliyin 3 kökü (həlli) var və formaya malikdir ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Bəzi kub tənliklərini həll etmək o qədər də asan deyil, ancaq doğru metodu (yaxşı nəzəri biliklə) tətbiq etsəniz, hətta ən mürəkkəb kub tənliyinin köklərini də tapa bilərsiniz - bunun üçün kvadrat tənliyin həlli üçün düsturdan istifadə edin. bütün kökləri və ya ayrı -seçkiliyi hesablayın.

Addımlar

Metod 1 3: Bir sabit tənlik olmadan bir kub tənliyini necə həll etmək olar

1. 1 Kub tənliyində sərbəst bir müddət olub olmadığını öyrənin d{ Displaystyle d}. Kub tənliyi bir formaya malikdir ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Bir tənliyin kub sayılması üçün yalnız terminin olması kifayətdir ${ Displaystyle x ^ {3}}$ (yəni başqa üzvlər ümumiyyətlə olmaya bilər).
   • Əgər tənliyin sərbəst dövrü varsa ${ Displaystyle d}$, fərqli bir üsuldan istifadə edin.
   • Əgər tənlikdə ${ Displaystyle a = 0}$, kub deyil.
2. 2 Mötərizədən çıxarın x{ Displaystyle x}. Tənlikdə sərbəst bir müddət olmadığı üçün tənliyin hər bir hissəsi dəyişəni ehtiva edir ${ Displaystyle x}$... Bu o deməkdir ki, bir ${ Displaystyle x}$ tənliyi asanlaşdırmaq üçün mötərizədən çıxarıla bilər. Beləliklə, tənlik belə yazılacaq: ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Məsələn, bir kub tənliyi verilir ${ Displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Çıxarmaq ${ Displaystyle x}$ mötərizələr və alın ${ Displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktor (iki binomun məhsulu) kvadrat tənliyi (mümkünsə). Formanın bir çox kvadrat tənliyi ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ faktorizə etmək olar. Çıxarsaq belə bir tənlik ortaya çıxacaq ${ Displaystyle x}$ mötərizədən kənarda. Bizim nümunədə:
   • Mötərizədən çıxarın ${ Displaystyle x}$: ${ Displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Kvadrat tənliyin faktoru: ${ Displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Hər zibil qutusunu bərabərləşdirin ${ displaystyle 0}$... Bu tənliyin kökləri budur ${ Displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Xüsusi bir düsturdan istifadə edərək kvadrat tənliyi həll edin. Kvadrat tənliyi faktorizə etmək mümkün olmadıqda bunu edin. Bir tənliyin iki kökünü tapmaq üçün əmsalların dəyərləri ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ formulada əvəz edin ${ Displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Bizim nümunəmizdə əmsalların dəyərlərini əvəz edin ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ (${ Displaystyle 3}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle 14}$) formuluna daxil edin:

     ${ Displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ Displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • İlk kök:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • İkinci kök:

     ${ Displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Kub tənliyinin həlli olaraq sıfır və kvadrat köklərdən istifadə edin. Kvadrat tənliklərin iki kökü, kubiklərin isə üç kökü var. Artıq iki həll tapmısınız - bunlar kvadrat tənliyin kökləri. Mötərizənin xaricinə "x" qoysanız, üçüncü həll olardı ${ displaystyle 0}$.
   • Mötərizədən "x" çıxarsanız, alacaqsınız ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, yəni iki amil: ${ Displaystyle x}$ və mötərizədə kvadrat tənlik. Bu amillərdən hər hansı biri varsa ${ displaystyle 0}$, bütün tənlik də bərabərdir ${ displaystyle 0}$.
   • Beləliklə, bir kvadrat tənliyin iki kökü bir kub tənliyinin həlləridir. Üçüncü həll budur ${ Displaystyle x = 0}$.

Metod 2 /3: Çarpanlardan istifadə edərək Bütün Kökləri Necə Tapmaq olar

1. 1 Kub tənliyində sərbəst bir müddət olduğuna əmin olun d{ Displaystyle d}. Forma tənliyində olarsa ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ azad üzv var ${ Displaystyle d}$ (sıfıra bərabər olmayan), mötərizənin xaricində "x" işarəsi qoymaq işləməyəcək. Bu vəziyyətdə, bu bölmədə göstərilən metoddan istifadə edin.
   • Məsələn, bir kub tənliyi verilir ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Tənliyin sağ tərəfində sıfır almaq üçün əlavə edin ${ Displaystyle 6}$ tənliyin hər iki tərəfinə.
   • Tənlik ortaya çıxacaq ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Kimi ${ Displaystyle d = 6}$, birinci hissədə təsvir olunan metoddan istifadə edilə bilməz.
2. 2 Katsayının faktorlarını yazın a{ Displaystyle a} və pulsuz üzv d{ Displaystyle d}. Yəni, sayının faktorlarını tapın ${ Displaystyle x ^ {3}}$ və bərabərlik işarəsindən əvvəlki ədədlər. Xatırladaq ki, bir ədədin faktorları, vurulduqda həmin rəqəmi yaradan ədədlərdir.
   • Məsələn, nömrəni əldə etmək üçün 6, çoxaltmaq lazımdır ${ Displaystyle 6 dəfə 1}$ və ${ displaystyle 2 dəfə 3}$... Yəni rəqəmlər 1, 2, 3, 6 say faktorlarıdır 6.
   • Bizim tənlikdə ${ Displaystyle a = 2}$ və ${ Displaystyle d = 6}$... Çarpanlar 2 var 1 və 2... Çarpanlar 6 nömrələrdir 1, 2, 3 və 6.
3. 3 Hər faktoru bölün a{ Displaystyle a} hər bir faktor üçün d{ Displaystyle d}. Nəticədə bir çox kəsr və bir neçə tam ədəd alırsınız; kub tənliyinin kökləri tam ədədlərdən biri və ya tam ədədlərdən birinin mənfi dəyəri olacaq.
   • Misalımızda faktorları bölün ${ Displaystyle a}$ (1 və 2) amillərə görə ${ Displaystyle d}$ (1, 2, 3 və 6). Alacaqsınız: ${ Displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$ və ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... İndi əldə edilən kəsrlərin və ədədlərin mənfi dəyərlərini bu siyahıya əlavə edin: ${ Displaystyle 1}$, ${ Displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ Displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle { frac {2} {3}}}$ və ${ Displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Kub tənliyinin bütün kökləri bu siyahıdakı bəzi rəqəmlərdir.
4. 4 Tam ədədləri kub tənliyinə daxil edin. Bərabərlik doğrudursa, əvəz olunan ədəd tənliyin köküdür. Məsələn, tənliyi əvəz edin ${ Displaystyle 1}$:
   • ${ Displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ Displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, yəni bərabərlik müşahidə olunmur. Bu vəziyyətdə, növbəti nömrəni qoşun.
   • Əvəz ${ Displaystyle -1}$: ${ Displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Beləliklə, ${ Displaystyle -1}$ tənliyin bütün köküdür.
5. 5 Polinomları bölmək metodundan istifadə edin Horner sxemitənliyin köklərini daha sürətli tapmaq üçün. Nömrələri tənliyə əl ilə qoymaq istəmirsinizsə bunu edin. Horner sxemində tam ədədlər tənliyin əmsallarının dəyərlərinə bölünür ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ və ${ Displaystyle d}$... Nömrələr bərabər bölünərsə (yəni qalanlar ${ displaystyle 0}$), tam ədəd tənliyin köküdür.
   • Hornerin sxemi ayrı bir məqaləyə layiqdir, lakin aşağıda bu sxemdən istifadə edərək kub tənliyimizin köklərindən birini hesablamaq nümunəsi verilmişdir:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Qalan belədir ${ displaystyle 0}$, Amma ${ Displaystyle -1}$ tənliyin köklərindən biridir.

Metod 3 /3: Diskriminantdan istifadə edərək bir tənliyi necə həll etmək olar

1. 1 Tənlik əmsallarının dəyərlərini yazın a{ Displaystyle a}, b{ Displaystyle b}, c{ Displaystyle c} və d{ Displaystyle d}. Gələcəkdə qarışmamaq üçün göstərilən əmsalların dəyərlərini əvvəlcədən yazmağı məsləhət görürük.
   • Məsələn, tənlik verilir ${ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Yazın ${ Displaystyle a = 1}$, ${ Displaystyle b = -3}$, ${ Displaystyle c = 3}$ və ${ Displaystyle d = -1}$... Xatırladaq ki, əvvəllər ${ Displaystyle x}$ sayı yoxdur, müvafiq əmsal hələ də mövcuddur və bərabərdir ${ Displaystyle 1}$.
2. 2 Xüsusi bir formula istifadə edərək sıfır diskriminantını hesablayın. Diskriminantdan istifadə edərək bir kub tənliyini həll etmək üçün bir çox çətin hesablamalar aparmalısınız, ancaq bütün addımları düzgün yerinə yetirsəniz, bu üsul ən mürəkkəb kub tənliklərinin həlli üçün əvəzolunmaz hala gələcək. İlk hesablama ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (sıfır diskriminant) ehtiyacımız olan ilk dəyərdir; Bunu etmək üçün düsturdakı uyğun dəyərləri əvəz edin ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminant bir polinomun köklərini xarakterizə edən bir rəqəmdir (məsələn, bir kvadrat tənliyin diskriminantı düsturla hesablanır) ${ Displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Bizim tənlikdə:

     ${ Displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ Displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Formuladan istifadə edərək ilk diskriminantı hesablayın Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. İlk diskriminant ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - bu ikinci vacib dəyərdir; hesablamaq üçün müvafiq dəyərləri göstərilən düstura daxil edin.
   • Bizim tənlikdə:

     ${ Displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ Displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ Displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Hesablayın:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Yəni əldə edilən dəyərlər vasitəsilə kub tənliyinin diskriminantını tapın ${ displaystyle Delta _ {0}}$ və ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Bir kub tənliyinin diskriminantı müsbətdirsə, tənliyin üç kökü vardır; diskriminant sıfırdırsa, tənliyin bir və ya iki kökü var; diskriminant mənfi olarsa, tənliyin bir kökü var.
   • Bir kub tənliyinin həmişə ən azı bir kökü var, çünki bu tənliyin qrafiki X oxunu ən azı bir nöqtədə kəsər.
   • Bizim tənlikdə ${ displaystyle Delta _ {0}}$ və ${ displaystyle Delta _ {1}}$ bərabərdirlər ${ displaystyle 0}$, beləliklə asanlıqla hesablaya bilərsiniz ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ Displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ Displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Beləliklə, tənliyimizin bir və ya iki kökü var.

5. 5 Hesablayın:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { sol ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } sağ) div 2}}}$. ${ Displaystyle C}$ - bu tapılmalı olan son əhəmiyyətli kəmiyyət; tənliyin köklərini hesablamağa kömək edəcək. Göstərilən formulada dəyərləri əvəz edin ${ displaystyle Delta _ {1}}$ və ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Bizim tənlikdə:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ Displaystyle 0 = C}$

6. 6 Tənliyin üç kökünü tapın. Bunu formula ilə edin ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, harada ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, Amma n -ə bərabərdir 1, 2 və ya 3... Uyğun dəyərləri bu düstura daxil edin - nəticədə tənliyin üç kökü əldə edəcəksiniz.
   • Düsturundan istifadə edərək dəyəri hesablayın n = 1, 2 və ya 3və sonra cavabı yoxlayın. Cavabınızı yoxlayanda 0 alsanız, bu dəyər tənliyin köküdür.
   • Bizim nümunəmizdə əvəz edin 1 daxilində ${ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ və almaq 0, yəni 1 tənliyin köklərindən biridir.