Faktor kvadratik tənliklər

Videonuz: Algebra II: Quadratic Equations - Factoring (Level 9 of 10) | Trial and Error, Decomposition III

MəZmun

Addımlamaq
Başlanğıc
Metod 6-dan 1-i: sınaq və səhv
Metod 6-dan 2: Ayrışma
Metod 6-dan 3: Üçlü Oyun
Metod 6-dan 4: İki kvadrat arasındakı fərq
Metod 5-dən 5: ABC düsturu
Metod 6-dan 6: Bir kalkulyatordan istifadə
Göstərişlər
Xəbərdarlıqlar
Ehtiyaclar

Polinom müəyyən bir gücə dəyişən (x) və bir neçə şərt və / və sabit ehtiva edir. Bir polinomu faktorlaşdırmaq üçün ifadəni birlikdə vurulmuş kiçik ifadələrə ayırmaq məcburiyyətində qalacaqsınız. Bunun üçün müəyyən bir riyaziyyat səviyyəsi lazımdır və bu səbəbdən hələ o qədər də uzaq olmadığınızı anlamaq çətin ola bilər.

Addımlamaq

Başlanğıc

Tənlik. Kvadrat tənlik üçün standart format:

ax + bx + c = 0
Denkleminizdəki şərtləri ən yüksəkdən ən aşağı gücə düzəltməyə başlayın. Məsələn, götür:

6 + 6x + 13x = 0
Bu ifadəni yenidən sıralayacağıq ki, işləmək daha asan olsun - sadəcə şərtləri hərəkət etdirərək:

6x + 13x + 6 = 0
Aşağıdakı metodlardan birini istifadə edən amilləri tapın. Polinomun faktorlaşdırılması, orijinal polinomu əldə etmək üçün birləşdirilə bilən iki kiçik ifadə ilə nəticələnəcəkdir:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Bu nümunədə (2x +3) və (3x + 2) var amillər orijinal ifadədən, 6x + 13x + 6.
İşinizi yoxlayın! Tapdığınız amilləri çoxaltın. Eyni şərtləri birləşdirin və işiniz bitdi. Başlayın:

(2x + 3) (3x + 2)
EBBL (ilk - xarici - daxili - son) istifadə edərək şərtləri vuraraq bunu sınayaq:

6x + 4x + 9x + 6
İndi bərabər şərtlər olduqları üçün birlikdə 4x və 9x əlavə edirik. Faktların doğru olduğunu bilirik, çünki başladığımız tənliyi geri alırıq:

6x + 13x + 6

Metod 6-dan 1-i: sınaq və səhv

Kifayət qədər sadə bir polinomunuz varsa, amillərin dərhal nə olduğunu görə bilərsiniz. Məsələn, bəzi tətbiqlərdən sonra bir çox riyaziyyatçı ifadəni görə bilir 4x + 4x + 1 (2x + 1) və (2x + 1) faktorlarına sahibdirlər, çünki bunu dəfələrlə gördükləri üçün. (Aydındır ki, daha mürəkkəb polinomlarla bu qədər asan olmayacaq.) Bu misal üçün daha az standart bir ifadə alaq:

3x + 2x - 8

Faktorlarını yazın a müddət və c müddət. Formatı istifadə edin ax + bx + c = 0, tanımaq a və c şərtlər və hansı faktorların olduğunu qeyd edin. 3x + 2x - 8 üçün bu o deməkdir:

a = 3 və 1 cüt amil var: 1 * 3
c = -8 və bunun 4 cüt faktoru var: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 və -1 * 8.
Boş bir boşluqla iki cüt mötərizə yazın. Burada hər bir ifadənin sabitlərini daxil edirsiniz:

(x) (x)
X-lərdən əvvəl boşluğu the-nin bir sıra mümkün amilləri ilə doldurun a dəyər. Üçün a nümunəmizdəki müddət, 3x, yalnız 1 ehtimal var:

(3x) (1x)
X-lərdən sonra 2 boşluğu sabitlər üçün bir neçə faktorla doldurun. Tutaq ki, 8 və 1-i seçirik. Bunu daxil edin:

(3x8) (X1)
X dəyişənləri ilə rəqəmlər arasında hansı işarələrin (artı və ya mənfi) olmasını müəyyənləşdirin. Orijinal ifadənin simvollarından asılı olaraq sabitlərin simvollarının necə olacağını tapmaq mümkündür. İki amilin iki sabitini götürək h və k anmaq:

Ax + bx + c olduqda (x + h) (x + k)
Balta - bx - c və ya ax + bx - c olduqda (x - h) (x + k)
Ax - bx + c olduqda (x - h) (x - k)
Bizim nümunəmizdə 3x + 2x - 8 işarəsi: (x - h) (x + k), bu bizə aşağıdakı iki faktoru verir:

(3x + 8) və (x - 1)
Seçiminizi ilk xarici-daxili-son vurma ilə sınayın. Orta müddətin ən azı düzgün dəyər olub olmadığını görmək üçün sürətli bir ilk test. Əgər yoxsa, ehtimal ki, səhviniz var c seçilmiş amillər. Cavabı test edək:

(3x + 8) (x - 1)
Vurma ilə əldə edirik:

3x - 3x + 8x - 8
(-3x) və (8x) kimi terminləri əlavə edərək bu ifadəni sadələşdirin və əldə edirik:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Artıq səhv amilləri qəbul etdiyimizi bilirik:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Lazım gələrsə seçimlərinizi dəyişdirin. Nümunəmizdə 1 və 8 əvəzinə 2 və 4-ü sınayaq:

(3x + 2) (x - 4)
İndi bizim c müddət -8-ə bərabərdir, lakin (3x * -4) və (2 * x) xarici / daxili məhsulu -12x və 2x-dir, bu düzgün deyil b müddət və ya + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Lazım gələrsə sifarişi dəyişdirin. 2 və 4-ü çevirməyə çalışaq:

(3x + 4) (x - 2)
İndi bizim c müddət (4 * 2 = 8) və hələ də yaxşıdır, lakin xarici / daxili məhsullar -6x və 4x-dir. Bunları birləşdirəndə əldə edirik:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x İndi olmaq istədiyimiz yerə 2 dəfə yaxınlaşırıq, amma işarəsi hələ düzgün deyil.
Lazım gələrsə simvollarınızı iki dəfə yoxlayın. Bu sifarişi saxlayırıq, amma mənfi işarəsi ilə dəyişdiririk:

(3x - 4) (x + 2)
İndi c müddət hələ yaxşıdır və xarici / daxili məhsullar artıq (6x) və (-4x). Çünki:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Artıq müsbət 2x-i orijinal problemdən görürük. Bunlar doğru amillər olmalıdır.

Metod 6-dan 2: Ayrışma

Bu metod bunun mümkün olan bütün amillərini verir a və c şərtləri və hansı amillərin düzgün olduğunu tapmaq üçün istifadə edir. Rəqəmlər çox böyükdürsə və ya digər metodların təxminləri çox uzun çəkəcəksə, bu şəkildə istifadə edin. Nümunə:

6x + 13x + 6

Vurun a ilə müddət c müddət. Bu nümunədə, a 6 və c həm də 6-dır.

6 * 6 = 36
Tapın b faktorizasiya və sınaq yolu ilə müddət. Amilləri olan 2 ədədi axtarırıq a * c və birlikdə b müddət (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Denkleminizdə aldığınız iki ədədi cəmin cəmi ilə əvəz edin b müddət. Gəlin k və h 4 və 9-dakı 2 ədədi təmsil etmək üçün:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Polinomu qruplaşdıraraq faktor edin. İlk iki müddətin və son iki şərtin ən böyük ortaq bölənini ayırmaq üçün tənliyi təşkil edin. Hər iki amil eyni olmalıdır. GGD-ləri bir yerə əlavə edin və amillərin yanına mötərizədə yerləşdirin; nəticədə iki amili əldə edirsiniz:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metod 6-dan 3: Üçlü Oyun

Ayrışma metoduna bənzəyir. "Üçqat oyun" metodu məhsulun mümkün amillərini araşdırır a və c və nəyi tapmaq üçün istifadə edin b olmalıdır. Nümunə olaraq tənliyi götürək:

8x + 10x + 2

Vurun a ilə müddət c müddət. Ayrışma metodunda olduğu kimi, bunun üçün namizədləri müəyyənləşdirmək üçün istifadə edirik b müddət. Bu nümunədə: a 8 və c 2-dir.

8 * 2 = 16
Bu ədədi məhsul olaraq və cəminə bərabər olan 2 ədədi tapın b müddət. Bu addım parçalanma metodu ilə eynidir - sabitlər üçün namizədləri sınayırıq. Məhsulu a və c şərtləri 16, və c müddət 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Bu 2 ədədi götürün və "üçqat oyun" düsturunda əvəz edin. Əvvəlki addımdakı 2 rəqəmi götürün - onları əldə edək h və k onlara zəng edin və ifadəyə qoyun:

((ax + h) (ax + k)) / a

Bununla əldə edirik:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Məxrəcdəki iki müddətdən hansının tam bölünə biləcəyinə baxın a. Bu nümunədə (8x + 8) və ya (8x + 2) nin 8-ə bölünə biləcəyinə baxırıq. (8x + 8) 8-ə bölündüyü üçün bu termini bölünürük. a və digərini təsirsiz qoyuruq.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Burada saxladığımız müddət, ilə bölündükdən sonra qalan termindir a müddət: (x + 1)
Mümkünsə hər iki şərtdən ən böyük ortaq bölücüyü (gcd) götürün. Bu nümunədə ikinci müddətin gcd 2-yə sahib olduğunu görürük, çünki 8x + 2 = 2 (4x + 1). Bu cavabı əvvəlki addımda tapdığınız müddətlə birləşdirin. Bunlar müqayisənin amilləridir.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metod 6-dan 4: İki kvadrat arasındakı fərq

Bir polinomdakı bəzi əmsalları "kvadratlar" kimi və ya eyni 2 ədədin məhsulu kimi tanıya bilərsiniz. Hansı kvadratların olduğunu müəyyənləşdirməklə polinomları çox daha sürətli faktor edə bilərsiniz. Tənliyi götürürük:

27x - 12 = 0

Mümkünsə gcd-ni tənlikdən çıxarın. Bu vəziyyətdə 27 və 12-nin hər ikisinin 3-ə bölündüyünü görürük, buna görə də onları ayrı yerləşdirə bilərik:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Tənliyinizin əmsallarının kvadrat olub olmadığını müəyyənləşdirin. Bu metoddan istifadə etmək üçün terminlərin kökünü müəyyənləşdirmək lazımdır. (Qeyd edək ki, mənfi işarələri buraxmışıq - bu rəqəmlər kvadrat olduğundan, onlar 2 mənfi rəqəmin məhsulu ola bilər)

9x = 3x * 3x ve 4 = 2 * 2
Müəyyən etdiyiniz kvadrat kökündən istifadə edərək, indi faktorları yaza bilərsiniz. Biz götürürük a və c əvvəlki addımdakı dəyərlər: a = 9 və c = 4, buna görə bunun kökləri: - √a = 3 və √c = 2. Bunlar faktorlaşdırılmış ifadələrin əmsallarıdır:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metod 5-dən 5: ABC düsturu

Heç bir nəticə vermirsə və tənliyi həll edə bilmirsinizsə, abc düsturundan istifadə edin. Aşağıdakı nümunəni götürün:

x + 4x + 1 = 0

Müvafiq dəyərləri abc düsturuna daxil edin:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
İndi ifadəni alırıq:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
X üçün həll edin. İndi x üçün 2 dəyər almalısınız. Bunlar:

x = -2 + √ (3) və ya x = -2 - √ (3)
X faktorlarını təyin etmək üçün x dəyərlərindən istifadə edin. İki tənlikdə alınan x dəyərlərini sabit olaraq daxil edin. Bunlar sizin amillərinizdir. Əgər ikisinə cavab versək h və k iki faktoru aşağıdakı kimi yazırıq:

(x - h) (x - k)
Bu vəziyyətdə son cavab:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)))

Metod 6-dan 6: Bir kalkulyatordan istifadə

Bir qrafika kalkulyatorundan istifadə edilməsinə (və ya məcburi) icazə verilirsə, bu faktorinqi xüsusilə imtahan və imtahanlarda çox asanlaşdırır. Aşağıdakı təlimatlar bir TI qrafik kalkulyatoru üçündür. Nümunədəki tənlikdən istifadə edirik:

y = x - x - 2

Tənliyi kalkulyatorunuza daxil edin. [Y =] ekranı olaraq da bilinən tənlik həll edicisini istifadə edəcəksiniz.
Tənliyi kalkulyatorla qrafik şəklində göstərin. Denklemi girdikdən sonra, [GRAPH] düyməsini basın - indi əyri bir xətt görməlisiniz, tənliyinizin qrafik təsviri olaraq bir parabola (və bir polinomla məşğul olduğumuz üçün bir paroladır).
Parabolanın x oxu ilə kəsişdiyi yeri tapın. Kvadrat tənlik ənənəvi olaraq ax + bx + c = 0 kimi yazıldığından, tənliyi sıfıra bərabər edən iki x dəyərdir:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Parabolanın x oxu ilə kəsişdiyi yeri görə bilmirsinizsə, [2] və sonra [TRACE] düyməsini basın. [2] düyməsinə basın və ya "sıfır" seçin. Kursoru kəsişmənin soluna aparın və [ENTER] düyməsini basın. Kursoru kəsişmənin sağına aparın və [ENTER] düyməsini basın. İmleci mümkün qədər kəsişmə nöqtəsinə yaxınlaşdırın və [ENTER] düyməsini basın. Kalkulyator x dəyərini göstərəcəkdir. Bunu digər kəsişmə üçün də edin.
Əldə etdiyiniz x dəyərlərini iki faktorlaşdırılmış ifadəyə daxil edin. İki x dəyərini götürsək h və k bir müddət olaraq istifadə etdiyimiz ifadə belə görünür:

(x - h) (x - k) = 0
Beləliklə, iki amilimiz belə olur:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Göstərişlər

Polinomu abc düsturu ilə hesablamısınızsa və cavabınızda köklər varsa, x dəyərlərini onları yoxlamaq üçün kəsrlərə çevirə bilərsiniz.
Bir müddətin əvvəl bir əmsalı yoxdursa, əmsal 1-ə bərabərdir, məsələn x = 1x.
TI-84 kalkulyatorunuz varsa, sizin üçün bir kvadrat tənliyi həll edə biləcək SOLVER adlı bir proqram var. Daha yüksək dərəcə polinomlarını da həll edir.
Çox təcrübədən sonra nəhayət polinomları əzbərdən həll edə biləcəksiniz. Ancaq təhlükəsiz tərəfdə olmaq üçün həmişə onları yazmaq daha yaxşıdır.
Bir müddət yoxdursa, əmsal sıfırdır. Sonra tənliyi yenidən yazmaq faydalı ola bilər. Məs. x + 6 = x + 0x + 6.

Xəbərdarlıqlar

Riyaziyyat dərsində bu konsepsiyanı öyrənirsinizsə, müəllimin izah etdiklərinə diqqət yetirin və yalnız öz sevdiyiniz metoddan istifadə etməyin. Bir test üçün müəyyən bir metoddan istifadə etməyiniz istənə bilər və ya qrafik hesablayıcılarına icazə verilmir.