MəZmun

• Addımlar
• İpuçları

Rasional funksiya y = N (x) / D (x) formasına malikdir, burada N və D polinomlardır. Belə bir funksiyanı dəqiq bir şəkildə qurmaq üçün diferensial hesablamalar da daxil olmaqla cəbr haqqında yaxşı biliyə ehtiyacınız var. Aşağıdakı nümunəni nəzərdən keçirin: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Addımlar

1. 1 Qrafikin y-kəsilməsini tapın. Bunu etmək üçün x = 0 funksiyasını əvəz edin və y = 5/2 alın. Beləliklə, qrafın Y oxu ilə kəsişmə nöqtəsi koordinatlara malikdir (0, 5/2).Bu nöqtəni koordinat müstəvisinə qoyun.
2. 2 Üfüqi asimptotları tapın. Sonsuzluğa meylli "x" dəyərləri olan "y" nin davranışını təyin etmək üçün sayını məxrəcə (sütunda) bölün. Bizim nümunəmizdə bölgü olacaq y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). "X" 17 / (8 böyük müsbət və ya mənfi dəyərlər üçünx + 4) sıfıra meyl edir və qrafik funksiyanın verdiyi düz xəttə yaxınlaşır y = (1/2)x - (7/4). Nöqtəli xətdən istifadə edərək bu funksiyanı qurun.
   • Əgər payın dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən azdırsa, onda məxrəci məxrəcə bölmək olmaz və asimptot funksiya ilə təsvir ediləcək at = 0.
   • Əgər payın dərəcəsi məxrəcin dərəcəsinə bərabərdirsə, asimptot ən yüksək dərəcədəki "x" əmsallarının nisbətinə bərabər olan üfüqi bir xətdir.
   • Əgər payın dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən 1 daha çoxdursa, asimptot meyli "x" əmsallarının ən yüksək dərəcəyə nisbətinə bərabər olan meylli düz xətdir.
   • Əgər payın dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən 2, 3 və s. Böyükdürsə, böyük dəyərlər üçün |NS| məna at bir kvadrat, kub və ya digər bir polinom şəklində sonsuzluğa (müsbət və ya mənfi) meyl edir. Bu vəziyyətdə, çox güman ki, payı məxrəcə bölməklə əldə edilən funksiyanın dəqiq bir qrafikini qurmağa ehtiyac yoxdur.
3. 3 Funksiyanın sıfırlarını tapın. Rasional bir funksiyanın sıfır olduğu zaman sıfır olur, yəni N (NS) = 0. Misalımızda 2x - 6x + 5 = 0. Bu kvadrat tənliyin diskriminantı: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Diskriminant mənfi olduğu üçün N (NS) və buna görə də F (NS) əsl kökləri yoxdur. Rasional bir funksiyanın qrafiki X oxu ilə kəsişmir, əgər funksiyanın sıfırları (kökləri) varsa, onları koordinat müstəvisinə qoyun.
4. 4 Şaquli asimptotları tapın. Bunu etmək üçün məxrəci sıfıra qoyun. Misalımızda 4x + 2 = 0 və NS = -1/2. Noktalı xətdən istifadə edərək şaquli asimptot qurun. Bəzi dəyərlər üçün NS N (NS) = 0 və D (NS) = 0, onda şaquli asimptot ya mövcuddur, ya da yoxdur (bu nadir haldır, amma bunu xatırlamaq daha yaxşıdır).
5. 5 Məxrəcə bölünən hissənin qalan hissəsinə baxın. Müsbət, mənfi və ya sıfırdır? Misalımızda, qalan 17 -dir, bu da müsbətdir. Məxrəc 4x Şaquli asimptotun sağında + 2 müsbət, solunda isə mənfi. Bu, böyük müsbət dəyərlər üçün rasional funksiyanın qrafiki deməkdir NS yuxarıdan və böyük mənfi dəyərlər üçün asimptota yaxınlaşır NS - aşağıdan. 17 / bəri (8x + 4) heç vaxt sıfıra bərabər deyil, onda bu funksiyanın qrafiki heç vaxt funksiyanın göstərdiyi düz xətti kəsməyəcək at = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Yerli ekstremal tapın. N 'üçün yerli bir ekstremum mövcuddur.x) D (x) - N (x) D '(x) = 0. Misalımızda N ’(x) = 4x - 6 və D '(x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Bu tənliyi həll edərək tapdınız x = 3/2 və x = -5/2. (Bunlar tamamilə dəqiq dəyərlər deyil, amma superpriziyaya ehtiyac olmadığı halda bizim vəziyyətimizə uyğundur.)
7. 7 Dəyəri tapın at hər bir yerli ekstremum üçün. Bunu etmək üçün dəyərləri əvəz edin NS orijinal rasional funksiyaya keçir. Misalımızda f (3/2) = 1/16 və f (-5/2) = -65/16. Koordinat müstəvisində nöqtələri (3/2, 1/16) və (-5/2, -65/16) ayırın. Hesablamalar təxmini dəyərlərə əsaslandığından (əvvəlki addımdan) tapılan minimum və maksimum da tam dəqiq deyildir (lakin yəqin ki, dəqiq dəyərlərə çox yaxındır). (Nöqtə (3/2, 1/16) yerli minimuma çox yaxındır. 3 -cü addımdan başlayaraq bilirik ki at üçün həmişə müsbətdir NS> -1/2 və kiçik bir dəyər tapdıq (1/16); beləliklə, bu vəziyyətdə səhv dəyəri son dərəcə kiçikdir.)
8. 8 Gözləyən nöqtələri birləşdirin və qrafiki asimptotlara hamar bir şəkildə uzatın (asimptotlara yaxınlaşan qrafikin düzgün istiqamətini unutmayın). Unutmayın ki, qrafik X oxundan keçməməlidir (3-cü addıma baxın). Qrafik də üfüqi və şaquli asimptotlar ilə kəsişmir (5 -ci addıma baxın). Əvvəlki addımda tapılan həddindən artıq nöqtələr istisna olmaqla qrafikin istiqamətini dəyişməyin.

İpuçları

• Yuxarıdakı addımları ardıcıllıqla yerinə yetirmiş olsanız, həllinizi sınamaq üçün ikinci törəmələri (və ya oxşar kompleks miqdarları) hesablamağa ehtiyac yoxdur.
• Kəmiyyətlərin dəyərlərini hesablamağa ehtiyac yoxdursa, bəzi əlavə cüt koordinatları hesablayaraq yerli ekstremal tapmağı əvəz edə bilərsiniz (NS, at) hər bir asimptot cütü arasında. Üstəlik, təsvir olunan metodun necə işlədiyini maraqlandırmırsınızsa, niyə törəməni tapıb N 'tənliyini həll edə bilmədiyinizə təəccüblənməyin.x) D (x) - N (x) D '(x) = 0.
• Bəzi hallarda daha yüksək dərəcəli polinomlarla işləmək məcburiyyətində qalacaqsınız. Faktorizasiya, düsturlar və s. İstifadə edərək dəqiq həll tapa bilmirsinizsə, Newton metodu kimi ədədi metodlardan istifadə edərək mümkün həlləri qiymətləndirin.
• Nadir hallarda, pay və məxrəc ümumi bir dəyişən faktoru paylaşır. Təsvir edilən addımlara görə, bu eyni yerdə sıfıra və şaquli bir asimptota səbəb olacaq. Ancaq bu mümkün deyil və izahat aşağıdakılardan biridir:
  • N -də sıfır (NS) D -də sıfırdan daha çox çoxluğa malikdir (NS). F qrafiki (NS) bu nöqtədə sıfıra meyl edir, lakin orada müəyyən edilməmişdir. Nöqtənin ətrafında bir dairə çəkərək bunu göstərin.
  • N -də sıfır (NS) və D -də sıfır (NS) eyni çoxluğa malikdir. Qrafik bu dəyərdə sıfır olmayan bir nöqtəyə yaxınlaşır NSlakin orada müəyyən edilməmişdir. Nöqtənin ətrafında bir dairə çəkərək bunu göstərin.
  • N -də sıfır (NS) D -də sıfırdan daha aşağı çoxluğa malikdir (NS). Burada şaquli bir asimptot var.