Kub kökünü əllə necə hesablamaq olar

MəZmun

Addımlar
3 -dən 1 -ci hissə: Küp kökünün sadə bir nümunə ilə çıxarılması
3 -dən 2 -ci hissə: Cube Root Estimation
3 -dən 3 -cü hissə: Təsvir edilən hesablama prosesinin izahı
İpuçları
Xəbərdarlıqlar
Sənə nə lazımdır

Əlinizdə bir kalkulyator varsa, istənilən ədədin kub kökünü asanlıqla çıxara bilərsiniz. Ancaq bir kalkulyatorunuz yoxdursa və ya başqalarını təəccübləndirmək istəyirsinizsə, kub kökünü əl ilə çıxarın. Əksər insanlar üçün burada təsvir olunan proses olduqca mürəkkəb görünəcək, amma praktikada kub köklərinin çıxarılması daha asan olacaq. Bu məqaləni oxumağa başlamazdan əvvəl, bir kubdakı ədədlərlə əsas riyazi əməliyyatları və hesablamaları xatırlayın.

Addımlar

3 -dən 1 -ci hissə: Küp kökünün sadə bir nümunə ilə çıxarılması

1 Tapşırığı yazın. Manuel kub kök çıxarılması uzun bölünməyə bənzəyir, lakin bəzi nüanslarla. Əvvəlcə tapşırığı müəyyən bir formada yazın.
- Küp kökündən çıxarmaq istədiyiniz nömrəni yazın. Nömrəni üç rəqəmdən ibarət qruplara bölün və ondalık nöqtəsi ilə saymağa başlayın. Məsələn, 10 -un kub kökünü çıxarmalısınız. Nömrəni belə yazın: 10.000.000. Nəticənin dəqiqliyini artırmaq üçün əlavə sıfırlardan istifadə olunur.
- Nömrənin yanında və üstündə bir kök işarəsi çəkin. Uzun hissədə çəkdiyiniz üfüqi və şaquli xətləri düşünün. Yalnız fərq iki personajın formasıdır.
- Üfüqi xəttin üstündə ondalık nöqtəsi qoyun. Bunu birbaşa orijinal ədədin ondalık nöqtəsinin üstündə edin.
2 Tam ədədləri kublaşdırmağın nəticələrini xatırlayın. Hesablamalarda istifadə ediləcəklər.
- ${ displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}$
- ${ displaystyle 2 ^ {3} = 2 * 2 * 2 = 8}$
- ${ Displaystyle 3 ^ {3} = 3 * 3 * 3 = 27}$
- ${ Displaystyle 4 ^ {3} = 4 * 4 * 4 = 64}$
- ${ Displaystyle 5 ^ {3} = 5 * 5 * 5 = 125}$
- ${ Displaystyle 6 ^ {3} = 6 * 6 * 6 = 216}$
- ${ Displaystyle 7 ^ {3} = 7 * 7 * 7 = 343}$
- ${ Displaystyle 8 ^ {3} = 8 * 8 * 8 = 512}$
- ${ Displaystyle 9 ^ {3} = 9 * 9 * 9 = 729}$
- ${ Displaystyle 10 ^ {3} = 10 * 10 * 10 = 1000}$
3 Cavabın ilk rəqəmini tapın. Üç rəqəmdən ibarət ilk qrupa ən yaxın, lakin daha kiçik bir tam ədəd kub seçin.
- Misalımızda, üç rəqəmdən ibarət ilk qrup 10 -dur. 10 -dan kiçik olan ən böyük kubu tapın. Bu kub 8 -dir və 8 -in kub kökü 2 -dir.
- 10 rəqəminin üstündəki üfüqi xəttin üstünə 2 rəqəmini yazın. Sonra əməliyyatın dəyərini yazın ${ Displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8 -dən 10 -a qədər bir xətt çəkin və 10 -dan 8 -i çıxarın (uzun hissədə olduğu kimi). Nəticə 2 -dir (bu ilk qalıqdır).
- Beləliklə, cavabın ilk nömrəsini tapdınız. Verilən nəticənin kifayət qədər dəqiq olub olmadığını düşünün. Əksər hallarda bu çox kobud bir cavab olacaq. Orijinal nömrəyə nə qədər yaxın olduğunu öyrənmək üçün nəticəni kəsin. Bizim nümunədə: ${ Displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, 10 -a çox yaxın deyil, buna görə hesablamalara davam etmək lazımdır.
4 Cavabın növbəti rəqəmini tapın. Üç ədəddən ibarət ikinci qrupu birinci qalana əlavə edin və nəticədə çıxan ədədin soluna şaquli bir xətt çəkin. Yaranan nömrədən istifadə edərək cavabın ikinci rəqəmini tapacaqsınız. Misalımızda, 2000 rəqəmini əldə etmək üçün birinci qalana (2) üç rəqəmdən ibarət ikinci qrup (000) əlavə edilməlidir.
- Şaquli xəttin solunda, cəmi bir neçə birinci faktora bərabər olan üç ədəd yazırsınız. Bu ədədlər üçün boş yerlər qoyun və aralarında işarələr qoyun.
5 Birinci termini tapın (üçdən). İlk boş yerə 300 -ü cavabın ilk rəqəminin kvadratına vurmağın nəticəsini yazın (kök işarəsinin üstündə yazılmışdır). Bizim nümunədə cavabın ilk rəqəmi 2 -dir, buna görə 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. İlk boş yerə 1200 yazın. Birinci dövr 1200 (üstəgəl daha iki ədəd tapmaq lazımdır).
6 Cavabın ikinci rəqəmini tapın. Nəticənin yaxın olması, lakin 2000 -dən artıq olmaması üçün 1200 -ə vurmaq lazım olan nömrəni öyrənin. Bu sayı yalnız 1 ola bilər, çünki 2 * 1200 = 2400, 2000 -dən çoxdur. 1 (ikinci rəqəm cavab) kök işarəsinin üstündə 2 və onluq vergüldən sonra.
7 İkinci və üçüncü şərtləri tapın (üçdən). Faktor, birincisini artıq tapdığınız üç ədəddən (şərtlərdən) ibarətdir (1200). İndi qalan iki şərti tapmalıyıq.
- 3 -ü 10 -a və cavabın hər rəqəminə vurun (kök işarəsinin üstündə yazılır). Misalımızda: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Bu nəticəni 1200 -ə əlavə edin və 1260 alın.
- Nəhayət, cavabınızın son rəqəmini kvadrat halına salın. Bizim nümunəmizdə cavabın son rəqəmi 1 -dir, beləliklə 1 ^ 2 = 1. Beləliklə, birinci faktor aşağıdakı ədədlərin cəmidir: 1200 + 60 + 1 = 1261. Bu nömrəni şaquli çubuğun soluna yazın. .
8 Çarpın və çıxarın. Cavabın son rəqəmini (nümunəmizdə 1 -dir) tapılan faktorla (1261) vurun: 1 * 1261 = 1261. Bu rəqəmi 2000 -in altına yazın və 2000 -dən çıxın. 739 alacaqsınız (bu ikinci qalıq).
9 Aldığınız cavabın kifayət qədər doğru olub olmadığını düşünün. Növbəti çıxarmağı tamamladığınız zaman bunu edin. İlk çıxardıqdan sonra cavab 2 idi, bu dəqiq nəticə deyil. İkinci çıxarmadan sonra cavab 2.1 -dir.
- Cavabın düzgünlüyünü yoxlamaq üçün onu ölçün: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
- Cavabın kifayət qədər dəqiq olduğunu düşünürsünüzsə, hesablamalara davam etmək lazım deyil; əks təqdirdə başqa bir çıxarma aparın.
10 İkinci faktoru tapın. Hesablamalarınızı həyata keçirmək və daha dəqiq nəticə əldə etmək üçün yuxarıdakı addımları təkrarlayın.
- Üç rəqəmi olan üçüncü qrupu (000) ikinci qalana (739) əlavə edin. 739000 nömrəsini alacaqsınız.
- 300 -ü kök işarəsinin (21) üstündə yazılmış rəqəmin kvadratına vurun: ${ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}$ = 132300.
- Cavabın üçüncü rəqəmini tapın. Nəticənin yaxın olması, lakin 739000 -dən çox olmaması üçün 132300 -ü vurmaq üçün hansı saya ehtiyacınız olduğunu öyrənin. Bu rəqəm 5: 5 * 132200 = 661500 -dir. Kök işarəsinin üstünə 1 -dən sonra 5 (cavabın üçüncü rəqəmi) yazın.
- 3 -ü 10 ilə 21 -ə və cavabın son rəqəminə vurun (kök işarəsinin üstündə yazılır). Bizim nümunədə: ${ Displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150}$ .
- Nəhayət, cavabınızın son rəqəmini kvadrat halına salın. Bizim nümunəmizdə cavabın son rəqəmi 5 -dir ${ Displaystyle 5 ^ {2} = 25.}$
- Beləliklə, ikinci faktor: 132300 + 3150 + 25 = 135.475.
11 Cavabınızın son rəqəmini ikinci faktorla vurun. İkinci faktoru və cavabın üçüncü rəqəmini tapdıqdan sonra aşağıdakı kimi davam edin:
- Cavabın son rəqəmini tapılan faktora vurun: 135475 * 5 = 677375.
- Çıxar: 739000 - 677375 = 61625.
- Aldığınız cavabın kifayət qədər doğru olub olmadığını düşünün. Bunu etmək üçün kub şəklində kəsin: ${ Displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ .
12 Cavabınızı yazın. Kök işarəsinin üstündə yazılan nəticə iki ondalık işarəli cavabdır. Misalımızda, 10 -un kub kökü 2.15 -dir. Cavabınızı kub şəklində yoxlayın: 2.15 ^ 3 = 9.94, bu təxminən 10 -dur. Daha çox dəqiqliyə ehtiyacınız varsa, hesablamaya davam edin (yuxarıda göstərildiyi kimi).

3 -dən 2 -ci hissə: Cube Root Estimation

1 Üst və alt sərhədləri təyin etmək üçün ədəd kublarından istifadə edin. Demək olar ki, hər hansı bir sayın kub kökünü çıxarmaq lazımdırsa, verilən saya yaxın olan kubları (bəzi ədədlər) tapın.
- Məsələn, kubun kökünü 600 -dən çıxarmaq lazımdır ${ Displaystyle 8 ^ {3} = 512}$ və ${ Displaystyle 9 ^ {3} = 729}$ , sonra 600 kub kökü 8 ilə 9 arasındadır. Buna görə də cavabınızın yuxarı və aşağı həddi olaraq 512 və 729 istifadə edin.
2 İkinci rəqəmi təxmin edin. Tam ədədlərin kubları haqqında biliyiniz sayəsində ilk nömrəni tapdınız. İndi bir tam rəqəmi ondalık kəsrinə çevirərək (ondalık nöqtəsindən sonra) 0 -dan 9 -a qədər bir rəqəm təyin edin. Kubu yaxın olacaq, lakin orijinal sayından az olan ondalık kəsr tapmalısınız.
- Bizim nümunəmizdə 600 rəqəmi 512 ilə 729 arasındadır. Məsələn, ilk tapılan rəqəmə (8) 5 rəqəmini əlavə edin. 8.5 rəqəmini alırsınız.
3 Yaranan sayını bir kub halına gətirərək təxmin edin. Küpün yaxın olduğunu, lakin orijinal sayından böyük olmadığını yoxlamaq üçün bunu edin.
- Bizim nümunədə: ${ Displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}$
4 Gerekirse fərqli bir rəqəmi qiymətləndirin. Yaranan ədədin kubunu orijinal rəqəmlə müqayisə edin. Nəticədə əldə edilən ədədin kubu orijinal sayından daha böyükdürsə, daha aşağı bir rəqəmi qiymətləndirməyə çalışın. Yaranan ədədin kubu orijinal sayından çox kiçikdirsə, onlardan birinin kubu orijinal sayını aşana qədər çoxlu rəqəmləri qiymətləndirin.
- Bizim nümunədə: ${ Displaystyle 8.5 ^ {3}}$ > 600. Beləliklə, daha kiçik rəqəmi 8.4 hesablayın. Bu nömrəni kəsin və orijinal rəqəmlə müqayisə edin: ${ Displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7}$ ... Bu nəticə orijinal rəqəmdən azdır. Beləliklə, 600 -ün kub kökü 8.4 ilə 8.5 arasındadır.
5 Cavabınızın düzgünlüyünü artırmaq üçün növbəti nömrəni qiymətləndirin. Son olaraq qiymətləndirdiyiniz hər bir nömrə üçün, dəqiq cavabı alana qədər 0 -dan 9 -a qədər bir rəqəm əlavə edin. Hər bir qiymətləndirmə turunda, orijinal nömrənin olduğu yuxarı və aşağı sərhədləri tapmaq lazımdır.
- Bizim nümunədə: ${ Displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ və ${ Displaystyle 8.5 ^ {3} = 614.1}$ ... Orijinal 600 nömrəsi 614 -ə nisbətən 592 -yə daha yaxındır. Buna görə də təxmin etdiyiniz son rəqəmə 9 -dan 0 -a yaxın bir rəqəm əlavə edin. Məsələn, bu rəqəm 4 -dir. Buna görə də 8.44 sayını balalayın.
6 Gerekirse fərqli bir rəqəmi qiymətləndirin. Yaranan ədədin kubunu orijinal rəqəmlə müqayisə edin. Nəticədə əldə edilən ədədin kubu orijinal sayından daha böyükdürsə, daha aşağı bir rəqəmi qiymətləndirməyə çalışın. Bir sözlə, kubları orijinal rəqəmdən bir qədər böyük və bir qədər kiçik olan iki ədəd tapmalısınız.
- Bizim nümunədə ${ Displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2}$ ... Bu orijinal rəqəmdən bir qədər böyükdür, buna görə başqa bir (daha kiçik) rəqəmi qiymətləndirin, məsələn 8.43: ${ Displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07}$ ... Beləliklə, 600 -ün kub kökü 8.43 ilə 8.44 arasındadır.
7 Sizi qane edən bir cavab alana qədər bu prosesi izləyin. Növbəti nömrəni qiymətləndirin, orijinalla müqayisə edin, sonra lazım gələrsə başqa bir rəqəmi qiymətləndirin və s. Nöqtədən sonra hər bir əlavə rəqəmin cavabınızın düzgünlüyünü artırdığını unutmayın.
- Bizim nümunəmizdə, 8.43 rəqəminin kubu orijinal sayından 1 -dən azdır. Daha çox dəqiqliyə ehtiyacınız varsa, 8.434 rəqəmini kəsin və alın ${ Displaystyle 8,434 ^ {3} = 599,93}$ , yəni nəticə orijinal rəqəmdən 0.1 -dən azdır.

3 -dən 3 -cü hissə: Təsvir edilən hesablama prosesinin izahı

1 Binomial seriyasını xatırlayın. Binomial seriyası, bir binomialın (binomial) müəyyən bir gücə, bu halda bir kuba qaldırılmasının nəticəsidir. Burada təsvir olunan kub kök çıxarma alqoritmini başa düşmək üçün əvvəlcə bir binomialın kub olduğunu xatırlayın. Çox güman ki, bunu məktəbdə öyrənmisən (və yəqin ki, əksər insanlar kimi tezliklə unudublar). Dəyişənlər A{ Displaystyle A} və B{ Displaystyle B} bəzi tək rəqəmləri qeyd edin. Sonra iki rəqəmli ədəd binomial olaraq yazıla bilər (10A+B){ Displaystyle (10A + B)}.
- Burada üzv ${ Displaystyle 10A}$ onlar yeri təmsil edir, yəni ${ Displaystyle A}$ O zaman hər hansı bir təkrəqəmli nömrədir ${ Displaystyle 10A}$ - bu artıq müvafiq iki rəqəmli rəqəmdir. Məsələn, əgər ${ Displaystyle A}$ = 2 və ${ Displaystyle B}$ = 6, onda ${ Displaystyle (10A + B)}$ = 26, yəni iki rəqəmli 26 nömrəniz var.
2 Binomialı kublayın. Birinci hissədə təsvir olunan kub kök çıxarma prosesini başa düşmək üçün bunu edin. Hesablayın (10A+B)3{ Displaystyle (10A + B) ^ {3}} = (10A+B)∗(10A+B)∗(10A+B){ Displaystyle (10A + B) * (10A + B) * (10A + B)} = 1000A3+300A2B+30AB2+B3{ displaystyle 1000A ^ {3} + 300A ^ {2} B + 30AB ^ {2} + B ^ {3}} (burada məqaləni hesablamalarla qarışdırmamaq üçün kub tikintisinin bir neçə mərhələsini buraxdıq).
- Ətraflı bir izahat burada tapa bilərsiniz.
3 Uzun bölünmə alqoritmini anlayın. Burada təsvir olunan kub kök üsulu uzun bölünməyə çox bənzəyir. Bir sütuna bölünərkən, nömrəni (hissəni) tapmaq lazımdır, bölücü ilə vurulduqda, dividend alırsınız. Təsvir edilən üsulda, kub kökünün çıxarılmasının nəticəsi (kök işarəsinin üstündə yazılmışdır) hissə olaraq istifadə olunur. Yəni kub kökünün çıxarılmasının nəticəsi binomial (10A + B) kimi təmsil oluna bilər. A və B -nin dəqiq dəyərləri bu mərhələdə vacib deyil: yalnız nəticənin binomial olaraq yazıla biləcəyini unutmayın.
4 Binomial aralığa baxın. Dörd monomialın cəmidir, bunun sayəsində kub kök çıxarma alqoritminin iş prinsipini başa düşə bilərsiniz. Unutmayın ki, kökün çıxarılmasının hər bir addımı üçün çarpan hesablanmalı və əlavə edilməli olan dörd şərtin cəminə bərabərdir.
- Birinci dövr üçün əmsal 1000 -dir. Cavabın ilk rəqəmini hesablamaq üçün əvvəlcə müəyyən bir rəqəmə (yəni üç rəqəmdən ibarət ilk qrupa) ən yaxın olan tam ədədin kubunu tapmalısınız. Bu, binomial seriyanın 1000A ^ 3 üzvünü təyin edir.
- Binomial seriyanın ikinci müddətinin çarpanı 300 rəqəmidir ( ${ Displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ = 300). Xatırladaq ki, kub kök çıxarılmasının hər mərhələsində cavabın müvafiq rəqəmləri 300 -ə vurulur.
- Kök çıxarmanın hər mərhələsindəki ikinci müddət, 30AB ^ 2 -ə bərabər olan binomial seriyanın üçüncü müddəti ilə müəyyən edilir.
- Kök hasilatının hər mərhələsindəki üçüncü müddət, B ^ 3 -ə bərabər olan binomial seriyanın dördüncü müddəti ilə müəyyən edilir.
5 Cavabın dəqiqliyinin artmasına diqqət yetirin. Kök çıxarmanın nə qədər çox mərhələsini keçsəniz, cavab daha doğru olar. Məsələn, bu yazıda 10 -un kub kökünü çıxarmalısınız. İlk mərhələdə cavab 2 -dir, çünki ${ Displaystyle 2 ^ {3}}$ = 8, yaxındır, amma 10 -dan azdır. İkinci mərhələdə cavab 2.1 -dir, çünki ${ Displaystyle 2.1 ^ {3} = 9.261}$ 10 -a çox yaxındır. Üçüncü mərhələdə cavab 2.15 -dir, çünki ${ Displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ ... Cavabınızın düzgünlüyünü artırmaq üçün üç rəqəmdən ibarət qruplardan istifadə edərək hesablamaya davam edə bilərsiniz.