MəZmun

• Addımlamaq

Trigonometrik tənlik, dəyişən x trigonometrik əyrisinin bir və ya daha çox trigonometrik funksiyası olan bir tənlikdir. X üçün həll etmək trigonometrik funksiyaları trigonometric tənliyin doğru olmasına səbəb olan trigonometric əyrilərinin dəyərlərini tapmaq deməkdir.

• Həll əyrilərinin cavabları və ya dəyərləri dərəcə və ya radianda ifadə olunur. Nümunələr:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 dərəcə; x = 37.12 dərəcə; x = 178.37 dərəcə

• Qeyd: Vahid dairədə istənilən əyrinin trigonometrik funksiyaları müvafiq bucağın trigonometrik funksiyalarına bərabərdir. Vahid dairəsi x dəyişən əyrisinin bütün trigonometrik funksiyalarını təyin edir. Əsas trigonometrik tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində də sübut kimi istifadə olunur.
• Trigonometrik tənliklərin nümunələri:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + karyola x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2 günah 2x + cos x = 1.

1. Vahid dairəsi.
   • Bu radius = 1 olan bir dairədir, burada O mənşəlidir. Vahid dairəsi, saat yönünün əksinə çevrildiyi x dəyişkən əyrisinin 4 əsas trigonometrik funksiyasını təyin edir.
   • X dəyəri olan əyri vahid dairədə dəyişdikdə, aşağıdakıları tutur:
   • Yatay ox OAx trigonometrik funksiyanı f (x) = cos x təyin edir.
   • Şaquli ox OBy trigonometrik funksiyanı f (x) = sin x təyin edir.
   • Şaquli ox AT trigonometrik funksiyanı təyin edir f (x) = tan x.
   • BU üfüqi oxu trigonometrik funksiyanı təyin edir f (x) = yataq x.

• Vahid dairə, eyni zamanda x əyrisinin dairədəki müxtəlif mövqelərini nəzərə alaraq əsas trigonometrik tənlikləri və standart trigonometrik bərabərsizlikləri həll etmək üçün istifadə olunur.

Addımlamaq

1. Həll metodunu anlayın.
   • Trigonometrik tənliyi həll etmək üçün onu bir və ya daha çox əsas trigonometrik tənliklərə çevirirsiniz. Trigonometrik tənliklərin həlli nəticəsində 4 əsas trigonometrik tənliyin həlli ilə nəticələnir.
2. Əsas trigonometrik tənliklərin həllini bilmək.
   • 4 əsas trigonometrik tənlik var:
   • günah x = a; cos x = a
   • tan x = a; yataq x = a
   • Trigonometrik dairədə x əyrisinin müxtəlif mövqelərini öyrənərək və trigonometrik çevrilmə cədvəlindən (və ya kalkulyatordan) istifadə edərək əsas trigonometrik tənlikləri həll edə bilərsiniz. Bu və bənzər əsas trigonometrik tənliklərin necə həll ediləcəyini tam olaraq anlamaq üçün aşağıdakı kitabı oxuyun: "Trigonometriya: Trigonometrik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli" (Amazon E-kitabı 2010).
   • Misal 1. sin x = 0.866 üçün həll edin. Dönüşüm cədvəli (və ya kalkulyator) cavabı verir: x = Pi / 3. Trigonometrik dairə sinus üçün eyni qiymətə (0.866) başqa bir əyri (2Pi / 3) verir. Trigonometrik dairə genişləndirilmiş cavab adlanan cavabların sonsuzluğunu da təmin edir.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi və x2 = 2Pi / 3. (Bir müddət ərzində cavablar (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi və x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Ətraflı cavablar).
   • Nümunə 2. Həll edin: cos x = -1/2. Kalkulyatorlar x = 2 Pi / 3 verir. Trigonometrik dairə də x = -2Pi / 3 verir.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi və x2 = - 2Pi / 3. (Dövr üçün cavablar (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi və x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Genişləndirilmiş cavablar)
   • Nümunə 3. Çözün: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Cavab)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Genişləndirilmiş cavab)
   • Nümunə 4. Çözün: karyola 2x = 1.732. Kalkulyatorlar və trigonometrik dairə aşağıdakıları verir:
   • x = Pi / 12; (Cavab)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Genişləndirilmiş cavablar)
3. Trigonometrik tənliklərin həllində istifadə olunan çevrilmələri öyrənin.
   • Verilən trigonometrik tənliyi standart trigonometric tənliklərə çevirmək üçün standart cəbri dönüşümlərdən (faktorizasiya, ümumi amil, polinomlar ...), trigonometrik funksiyaların təriflərindən və xassələrindən və trigonometrik şəxsiyyətlərdən istifadə edin. Təxminən 31-i var, bunlardan 14-ü trigonometrik şəxsiyyətlərdir, 19-dan 31-ə qədər, transformasiya şəxsiyyətləri də deyilir, çünki trigonometrik tənliklərin çevrilməsində istifadə olunur. Yuxarıdakı kitaba baxın.
   • Nümunə 5: trigonometrik tənlik: sin x + sin 2x + sin 3x = 0, trigonometric şəxsiyyətlərdən istifadə edərək əsas trigonometric tənliklərin məhsuluna çevrilə bilər: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Həll ediləcək əsas trigonometrik tənliklər bunlardır: cos x = 0; günah (3x / 2) = 0; və cos (x / 2) = 0.
4. Trigonometrik funksiyaların məlum olduğu əyriləri tapın.
   • Trigonometrik tənliklərin necə həll ediləcəyini öyrənmədən əvvəl, trigonometrik funksiyaların məlum olduğu əyriləri necə tez tapacağınızı bilməlisiniz. Döngələrin (və ya açıların) çevrilmə dəyərləri trigonometrik cədvəllər və ya kalkulyatorla müəyyən edilə bilər.
   • Misal: cos x = 0.732 üçün həll edin. Kalkulyator həll x = 42.95 dərəcə verir. Vahid dairəsi kosinus üçün eyni dəyərə sahib digər əyriləri verir.
5. Cavabın qövsünü vahid dairəyə çəkin.
   • Vahid dairədəki həllini göstərmək üçün bir qrafik yarada bilərsiniz. Bu əyrilərin son nöqtələri trigonometrik dairədəki nizamlı çoxbucaqlıdır. Bəzi nümunələr:
   • Döngənin son nöqtələri x = Pi / 3 + k.Pi / 2 vahid dairədəki bir kvadratdır.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 əyriləri vahid dairədəki altıbucaqlı koordinatlarla təmsil olunur.
6. Trigonometrik tənliklərin həll edilməsini öyrənin.
   • Verilən trigonometrik tənlikdə yalnız bir trigonometrik funksiya varsa, onu standart trigonometrik tənlik kimi həll edin. Verilən tənlikdə iki və ya daha çox trigonometrik funksiya varsa, tənliyi çevirmə seçimlərindən asılı olaraq 2 həll metodu mövcuddur.
     • A. Metod 1.
   • Trigonometrik tənliyi formanın məhsuluna çevirin: f (x) .g (x) = 0 və ya f (x) .g (x) .h (x) = 0, burada f (x), g (x) və h (x) əsas trigonometrik tənliklərdir.
   • Nümunə 6. Çözün: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Həll. Şəxsiyyətdən istifadə edərək tənlikdəki sin 2x-i dəyişdirin: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Sonra 2 standart trigonometrik funksiyanı həll edin: cos x = 0 və (sin x + 1) = 0.
   • Nümunə 7. Çözün: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Həll yolu: trigonometrik şəxsiyyətlərdən istifadə edərək bunu bir məhsula çevirin: cos 2x (2cos x + 1) = 0. İndi 2 əsas trigonometric tənlikləri həll edin: cos 2x = 0 və (2cos x + 1) = 0.
   • Nümunə 8. Çözün: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Həll: Trigonometrik şəxsiyyətlərdən istifadə edərək bunu bir məhsula çevirin: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. İndi 2 əsas trigonometrik tənliyi həll edin: cos 2x = 0 və (2sin x + 1) = 0.
     • B. yanaşma 2.
   • Dəyişən kimi yalnız bir unikal trig funksiyası olan trig tənliyini trig tənliyinə çevirir. Uyğun bir dəyişən seçmək üçün bir neçə ipucu var. Ümumi dəyişənlər bunlardır: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t və tan (x / 2) = t.
   • Nümunə 9. Çözün: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Həll. Tənlikdə (cos ^ 2x) (1 - sin ^ 2x) ilə əvəz edin və tənliyi sadələşdirin:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. İndi sin x = t istifadə edin. Tənlik olur: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Bu 2 kökü olan bir kvadrat tənlikdir: t1 = -1 və t2 = 9/5. İkinci t2-ni rədd edə bilərik, çünki> 1. İndi həll edin: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Nümunə 10. Çözün: tan x + 2 tan ^ 2 x = yataq x + 2.
   • Həll. Tan x = t istifadə edin. Verilən tənliyi dəyişkən olaraq t olan bir tənliyə çevirin: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Bu məhsuldan t həll edin, sonra x üçün standart trigonometrik tənlik x = t həll edin.
7. Xüsusi trigonometrik tənlikləri həll edin.
   • Bəzi konversiya tələb edən bir neçə xüsusi trigonometrik tənlik var. Nümunələr:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Trigonometrik funksiyaların dövri xüsusiyyətlərini öyrənin.
   • Bütün trigonometrik funksiyalar dövri xarakter daşıyır, yəni bir dövr ərzində fırlandıqdan sonra eyni dəyərə qayıdır. Nümunələr:
     • F (x) = sin x funksiyası dövr olaraq 2Pi-yə malikdir.
     • F (x) = tan x funksiyası dövr olaraq Pi-yə malikdir.
     • F (x) = sin 2x funksiyası dövr olaraq Pi-yə malikdir.
     • F (x) = cos (x / 2) funksiyası dövr olaraq 4Pi-yə malikdir.
   • Təlimlərdə / testdə müddət göstərilibsə, bu müddət içərisində x əyri (lər) ini tapmalısınız.
   • Qeyd: trigonometrik tənliklərin həlli hiyləgərdir və çox vaxt səhvlərə və səhvlərə səbəb olur. Buna görə cavablar diqqətlə yoxlanılmalıdır. Çözdükdən sonra verilmiş trigonometrik tənliyin R (x) = 0 -nın birbaşa nümayişi üçün qrafika kalkulyatorundan istifadə edərək cavabları yoxlaya bilərsiniz. Cavablar (kvadrat kökündə) onluq yerlərdə verilir. Nümunə olaraq, Pi 3.14 dəyərinə malikdir